Задача найти ток при резонансе

Содержание

3.3 Резонанс в электрической цепи
Примеры расчета электрических цепей в режиме резонанса
Задача найти ток при резонансе
Резонанс токов в цепи
Резонанс токов

3.3 Резонанс в электрической цепи

При резонансе характер нагрузки становится чисто активным, напряжение на входе цепи совпадает с током цепи

Решение задач резонанса в электрической цепи

Задача 3.3.1 Для последовательного колебательного контура (рис. 3.3.1) найти наибольшее напряжение на конденсаторе при изменении его емкости.

Рис. 3.3.1 Последовательный колебательный контур

Рассчитать и построить зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости, если U =16 В, R = 50 Ом, L = 10 мГ, ω = 104 с –1 .

Решение. Ток в последовательном контуре

I = U Z = U R 2 + ( X L − X C ) 2 .

Напряжение на емкости

U C = I ⋅ X C = U ⋅ X C R 2 + ( X L − X C ) 2 . (1)

Максимум напряжения на емкости найдем из условия

d d X C U ⋅ X C R 2 + ( X L − X C ) 2 = 0 ; d d X C X C ⋅ [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 = 0 ; [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 d d X C X C + X C ⋅ d d X C [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 = 0, [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 + X C ⋅ ( − 1 2 ) ⋅ [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 − 1 ⋅ 2 ( X L − X C ) ( − 1 ) = 0 ; [ R 2 + ( X L − X C ) 2 ] − 1 2 ⋅ [ 1 + X C ( X L − X C ) R 2 + ( X L − X C ) 2 ] = 0 ; R 2 + X L 2 − X L X C R 2 + ( X L − X C ) 2 = 0,

видно, что напряжение на конденсаторе достигает максимума при

R 2 + X L 2 − X L X C = 0 ; X C max = R 2 + X L 2 X L = R 2 + ( ω L ) 2 X L = 50 2 + ( 10 4 ⋅ 10 − 2 ) 2 10 4 ⋅ 10 − 2 = 125 О м .

U C = U ⋅ X C max R 2 + ( X L − X C max ) 2 = 16 ⋅ 125 50 2 + ( 100 − 125 ) 2 = 35,8 В .

Кривая U_C(Х_C), рассчитанная по формуле (1), приведена на рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2 Зависимость напряжения на конденсаторе от его емкости в последовательном колебательном контуре

Задача 3.3.2 В последовательной резонансной цепи (рис. 3.3.1) R = 2 Ом, C = 100 мкФ, L = 40 мГн.

Определить резонансную частоту ω₀ добротность контура, полосу пропускания и зависимость полосы пропускания от добротности контура. Построить резонансную кривую I/I_max = f(ω/ω₀) при U =10 В. Построить векторные диаграммы напряжений при частотах ω₀/2, ω₀, 2 ω₀.

Решение. Резонансная частота контура

ω 0 = 1 L C = 1 40 ⋅ 10 − 3 ⋅ 100 ⋅ 10 − 3 = 500 с − 1 .

Q = X C 0 R = 1 ω 0 C ⋅ R = X L 0 R = ω 0 L R = 500 ⋅ 40 ⋅ 10 − 3 2 = 10.

Резонансная кривая может быть построена из уравнения

I = U R 2 + ( X L − X C ) 2 = U R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 .

Преобразуем это выражение

I = U R 2 + ( ω L − 1 ω C ) 2 = U R 1 + 1 R 2 ( ω ω 0 ω 0 L − ω 0 ω 1 ω 0 C ) 2

в относительных единицах Ω = ω/ω₀

I ( Ω ) = I max 1 + Q 2 ( Ω − 1 Ω ) 2 , (2)

где ток при резонансе

Задаваясь разными значениями ω/ω₀, находим I/I_max. Результаты расчетов сведены в табл. 1.

Источник

Примеры расчета электрических цепей в режиме резонанса

Пример 7.1

Рассчитать параметры , последовательного колебательного контура по заданной резонансной частоте , полосе пропускания и сопротивлению контура . Определить напряжение на входе и напряжение на всех элементах контура, если известны: ток в контуре , частота , ширина полосы пропускания , активное сопротивление .

Решение

Добротность контура связана с абсолютным значением полосы пропускания по формуле:

Характеристическое сопротивление контура:

Напряжение на входе контура:

Напряжение на активном сопротивлении, индуктивности и ёмкости соответственно равны:

Пример 7.2

Последовательный контур настроен в резонанс. Сопротивление конденсатора . Добротность катушки . Определить напряжение на конденсаторе, если напряжение приложенное к контуру, . Определить показание вольтметра с сопротивлением в схеме рис.7.7.

Решение

При резонансе добротность катушки будет равна добротности контура:

Напряжение на конденсаторе:

При подключении вольтметра параллельно к емкости в контур внесутся дополнительные потери. На рис. 7.8 показана схема замещения, на которой параллельный участок, «конденсатор–вольтметр» заменен эквивалентным последовательным соединением , где

Так как емкостное сопротивление контура практически не изменилось , то не изменится и резонансная частота контура.

Определим ток в контуре:

Показания вольтметра определим по следующей формуле:

Пример 7.3

	Цепь рис. 7.9 находится в режиме резонанса. Мощность, потребляемая цепью , напряжения , , . Определить: , , .
Рис. 7.9

Решение

Построим векторную диаграмму напряжений, совмещённую с векторной диаграммой токов. При построении следует учитывать существующий в цепи режим резонанса напряжений, то есть вектор входного тока должен совпадать по фазе с вектором входного напряжения . Треугольники токов и напряжений подобны. Одинаковые углы показаны на диаграмме (рис. 7.10). Этот факт используется при решении задачи.

Зная значение активной мощности, определяем значение сопротивления :

По закону Ома определяем ток . Из треугольника напряжений определяем угол .

Из треугольника токов определяем .

Сопротивление ёмкости определяем по закону Ома:

Ток определим как геометрическую сумму и :

Пример 7.4

	Определить токи в ветвях и в неразветвленной части схемы (рис. 7.11), а также добротность контура, если ; ; .
Рис. 7.11

Решение

Волновое сопротивление контура:

Сопротивление ветвей параллельного контура:

Определим максимальные значения токов в ветвях по закону Ома:

Полное сопротивление контура является резистивным и равно:

Ток в неразветвлённой части цепи равен:

Пример 7.5

	В цепи, изображённой на рис. 7.12, имеет место резонанс токов. Мощность, потребляемая цепью, . Показания амперметров соответственно равны: , . Определить: параметры контура , и .
Рис. 7.12

Решение

В параллельном колебательном контуре в режиме резонанса токов равны реактивные составляющие токов параллельных ветвей в силу равенства реактивных проводимостей этих ветвей ( ). Следовательно, для данной цепи справедливо соотношение:

Реактивные токи замыкаются в параллельном контуре, и во входной цепи протекает только активный ток:

На векторной диаграмме (рис. 7.13) ток представлен геометрической суммой активной и реактивной составляющих. Из диаграммы следует:

Мощность, потребляемая цепью, выделяется на сопротивлении , т.е.:

Напряжение на параллельном колебательном контуре:

Из условия резонанса для параллельного контура имеем:

Подставляем в последнее выражение численные значения и определяем величину модулей реактивного сопротивления катушки:

Из решения следует, что резонанс токов может наступить при двух значениях индуктивного сопротивления.

Пример 7.6

Контур с , питается генератором, амплитуда Э.Д.С. которого и внутреннее сопротивление (рис. 7.14). При резонансе амплитуда напряжения на контуре равна . Определить индуктивность и добротность контура, токи генератора и контура.

Рис. 7.14

Решение

Определим амплитуду напряжения генератора:

Выражаем и рассчитываем значение тока в ветви с генератором напряжения:

Определим входное сопротивление параллельного контура:

Для контура с малыми потерями:

Определим характеристическое сопротивление контура:

Определяем добротность контура:

Амплитуду тока в контуре определяем исходя из следующих соотношений:

Источник

Задача найти ток при резонансе

Резонансом называется такой режим работы цепи, включающей в себя индуктивные и емкостные элементы, при котором ее входное сопротивление (входная проводимость) вещественно. Следствием этого является совпадение по фазе тока на входе цепи с входным напряжением.

Резонанс в цепи с последовательно соединенными элементами
(резонанс напряжений)

Для цепи на рис.1 имеет место

;

(1)

(2)

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

1. В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно,

. Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 2,а.

2.В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рис. 2,б.

3. — случай резонанса напряжений (рис. 2,в).

Условие резонанса напряжений

При этом, как следует из (1) и (2), .

При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания.

Пусть, например, в цепи на рис. 1 . Тогда , и, соответственно, .

Явление резонанса находит полезное применение на практике, в частности в радиотехнике. Однако, если он возникает стихийно, то может привести к аварийным режимам вследствие появления больших перенапряжений и сверхтоков.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

Суть дела не меняется, если в цепи имеется несколько индуктивных и емкостных элементов. Действительно, в этом случае , и соотношение (3) выполняется для эквивалентных значений L_Э и C_Э .

Как показывает анализ уравнения (3), режима резонанса можно добиться путем изменения параметров L и C, а также частоты. На основании (3) для резонансной частоты можно записать

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. В качестве их примера на рис. 3 приведены типовые кривые I(f); и для цепи на рис. 1 при U=const.

Важной характеристикой резонансного контура является добротность Q, определяемая отношением напряжения на индуктивном (емкостном) элементе к входному напряжению:

— и характеризующая “избирательные” свойства резонансного контура, в частности его полосу пропускания .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление, связанное с добротностью соотношением

или с учетом (4) и (5) для можно записать:

Резонанс в цепи с параллельно соединенными элементами
(резонанс токов)

Для цепи рис. 4 имеем

;

(8)

(9)

В зависимости от соотношения величин и , как и в рассмотренном выше случае последовательного соединения элементов, возможны три различных случая.

В цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рис. 5,а.

В цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рис. 5,б.

— случай резонанса токов (рис. 5,в).

Условие резонанса токов или

При этом, как следует из (8) и (9), . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рис. 4 резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Идентичность соотношений (3) и (5) указывает, что в обоих случаях резонансная частота определяется соотношением (4). Однако не следует использовать выражение (4) для любой резонансной цепи. Оно справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

При определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации или, в общем случае, соотношения параметров схемы в режиме резонанса следует исходить из условия вещественности входного сопротивления (входной проводимости) цепи.

Например, для цепи на рис. 6 имеем

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса имеет вид

откуда, в частности, находится резонансная частота.

Резонанс в сложной цепи

Условие резонанса для сложной цепи со смешанным соединением нескольких индуктивных и емкостных элементов, заключающееся в равенстве нулю мнимой части входного сопротивления или входной проводимости , определяет наличие у соответствующих этому условию уравнений относительно нескольких вещественных корней, т.е. таким цепям соответствует несколько резонансных частот.

При определении резонансных частот для реактивного двухполюсника аналитическое выражение его входного реактивного сопротивления или входной реактивной проводимости следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням , т.е. или . Тогда корни уравнения дадут значения частот, которые соответствуют резонансам напряжений, а корни уравнения — значения частот, при которых возникают резонансы токов. Общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме, получаемой из исходной путем ее сведения к цепи (с помощью эквивалентных преобразований) с минимальным числом этих элементов. Характерным при этом является тот факт, что режимы резонансов напряжений и токов чередуются.

В качестве примера определим резонансные частоты для цепи рис. 7. Выражение входного сопротивления данной цепи имеет вид

Из решения уравнения получаем частоту , соответствующую резонансу напряжений, а из решения уравнения — частоту , соответствующую резонансу токов.

Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачи

Что такое резонанс напряжений, чем он характеризуется?
Что такое резонанс токов, чем он характеризуется?
В чем физическая сущность резонансных режимов?
На основании каких условий в общем случае определяются резонансные частоты?
В цепи на рис. 1 R=1 Ом; L=10 мГн; С=10 мкФ. Определить резонансную частоту и добротность контура.

Какие условия необходимы и достаточны, чтобы в цепи на рис. 1 выполнялось соотношение ?

Определить резонансную частоту для цепи на рис. 7, если в ней конденсатор С3 заменен на резистор R3.

Источник

Резонанс токов в цепи

Резонанс токов

Резонанс при параллельном соединении индуктивности и емкости называется резонансом токов. Схема цепи с резонансом токов показана на рисунке 5.

входное напряжение ; параметры цепи: причем .

1) собственную частоту цепи ;

2) полную входную проводимость цепи при резонансе ;

3) полное входное сопротивление цепи при резонансе ;

4) входной ток в момент резонанса ;

5) токи в индуктивной и емкостной ветвях при резонансе;

6) сдвиг фаз между током и напряжением в момент резонанса ;

7) входную мощность в момент резонанса .

Полные сопротивления ветвей схемы в комплексной форме можно записать так:

Проводимости ветвей будут такими:

Полная входная проводимость цепи при параллельном соединении ветвей является суммой проводимостей отдельных ветвей

Найдем собственную частоту цепи. На основании общего положения о резонансах, имеем

Если учесть (6) в (18), то получим:

где волновое сопротивление цепи.

Таким образом, и здесь, при резонансе токов, собственная частота цепи зависит только от параметров цепи и от схемы их соединения и совершенно не зависит ни от токов, ни от напряжений.

Регулирование собственной частоты производится теми же способами, что и при резонансе напряжений.

Если считать, что то

Собственная частота при резонансе токов, в случае равенства близка к собственной частоте при резонансе напряжений. В момент резонанса входная проводимость будет

Ранее мы определили, что

Собственно входное сопротивление будет

Поскольку, активные сопротивления ветвей считаются малыми, то

Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи стремится к нулю, а входное сопротивление к бесконечности. Определим входной ток всей цепи

При резонансе токов входной ток предельно мал, так как сопротивление цепи стремится к бесконечности.

Это свойство широко используется на практике — резонанс токов является заградительным фильтром, непрозрачной преградой, пробкой для
токов резонансной частоты, рисунок 6.

Найдем теперь токи, протекающие в ветвях схемы в момент резонанса.

Поскольку и , имеем:

Реактивные проводимости будут равны:

Токи при резонансе равны по абсолютной величине и противоположны по фазе.

Выражения (30) получены в предположении, что активные сопротивления ветвей равны нулю. При этом общий входной ток цепи, равный сумме токов текущих в ветвях получится

В действительности, так как , то общий ток существует, но весьма малой величины.

Выясним, как относятся токи ветвей к входному току.

где — добротность контура.

На основании полученных выражений можно сформулировать главное свойство резонанса токов.

При резонансе токов, токи в ветвях равны по абсолютной величине, противоположны по фазе и могут во много раз превышать входной ток цепи.

Определим фазовый сдвиг на входе цепи.

Входной ток и напряжение при резонансе токов совпадают по фазе.

Коэффициент мощности на входе цепи при резонансе токов максимален и равен единице. Следовательно, цепь работает в самом экономичном режиме.

Входная мощность цепи при резонансе будет

Видим, что цепь потребляет от источника только активную мощность. Причем весьма малую.

Потребляемая мощность будет тем меньше, чем выше добротность цепи. Поэтому данный тип резонанса широко применяют в радиотехнике, электронике, и автоматике.

Внутри цепи существует и реактивная мощность в виде магнитного и электрического полей, но она не выходит за пределы цепи.

Векторная диаграмма резонанса токов показана на рисунке 7.

Графики частотных характеристик для резонанса токов показаны на рисунке 8.

В виду того, что мощность, потребляемая резонансной цепью при резонансе токов минимальна, и стремится к нулю, данный тип резонанса широко применяется в радиоэлектронике, приборостроении и автоматике.

Эта страница взята со страницы контрольной работы по электротехнике:

Возможно эти страницы вам будут полезны: