Меню

Внецентренное сжатие напряжения при внецентренном сжатии условие прочности

Научная электронная библиотека

Лекция 15. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ

Внецентренное сжатие. Построение ядра сечения. Изгиб с кручением. Расчеты на прочность при сложном напряженном состоянии.

Внецентренное сжатие – это вид деформации, при котором продольная сила в поперечном сечении стержня приложена не в центре тяжести. При внецентренном сжатии, помимо продольной силы (N), возникают два изгибающих момента (Mx и My).

Считают, что стержень обладает большой жесткостью на изгиб, чтобы пренебречь прогибом стержня при внецентренном сжатии.

Преобразуем формулу моментов при внецентренном сжатии 7, подставляя значения изгибающих моментов:

5280.png

Обозначим координаты некоторой точки нейтральной (нулевой) линии при внецентренном сжатии xN, yN и подставим их в формулу нормальных напряжений при внецентренном сжатии. Учитывая, что напряжения в точках нейтральной линии равны нулю, после сокращения на P/F, получим уравнение нейтральной линии при внецентренном сжатии:

5289.png(35)

Нулевая линия при внецентренном сжатии и точка приложения нагрузки всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения.

1

Рис. 43. Внецентренное сжатие

Отрезки, отсекаемые нулевой линией от осей координат, обозначенные ax и ay, легко найти из уравнения нулевой линии при внецентренном сжатии. Если сначала принять xN = 0, yN = ay, а затем принять yN = 0, xN = ax, то найдем точки пересечения нулевой линии при внецентренном сжатии с главными центральными осями:

5308.png

pic_44.tif

Рис. 44. Нейтральная линия при внецентренном растяжении – сжатии

Нейтральная линия при внецентренном сжатии разделит поперечное сечение на две части. В одной части напряжения будут сжимающими, в другой – растягивающими. Расчет на прочность, как и в случае косого изгиба, проводят по нормальным напряжениям, возникающим в опасной точке поперечного сечения (наиболее удаленной от нулевой линии).

5326.png(36)

Ядро сечения – малая область вокруг центра тяжести поперечного сечения, характерная тем, что любая сжимающая продольная сила, приложенная внутри ядра, вызывает во всех точках поперечного сечения сжимающие напряжения.

Примеры ядра сечения для прямоугольного и круглого поперечных сечений стержня.

pic_45.tif

Рис. 45. Форма ядра сечения для прямоугольника и круга

Изгиб с кручением. Такому нагружению (одновременному действию крутящих и изгибающих моментов)часто подвержены валы машин и механизмов. Для расчета бруса необходимо прежде всего установить опасные сечения. Для этого строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжения, возникающие в брусе отдельно для кручения, и для изгиба.

При кручении в поперечных сечениях бруса возникают касательные напряжения, достигающие наибольшего значения в точках контура сечения 5353.pngПри изгибе в поперечных сечениях бруса возникают нормальные напряжения, достигающие наибольшего значения в крайних волокнах бруса 5362.png.

Читайте также:  Знак осторожно электрическое напряжение где наносится

Касательные напряжения значительно меньше напряжений от крутящего момента, поэтому ими пренебрегают. Опасное сечение бруса будет у заделки, где действуют максимальные напряжения от изгиба и кручения.

Исследуем напряженное состояние в наиболее опасной точке A (рис. 46). Так как напряженное состояние двухосное, то для проверки прочности применяем одну из гипотез.

5343.png

Рис. 46. Эпюры изгибающих и крутящих моментов

Применяя третью теорию прочности

5372.png

и учитывая, что 5381.pngи 5390.png, получаем:

5398.png

Для подбора сечения находим требуемый момент сопротивления

Источник



ЛЕКЦИЯ 18. Внецентренное растяжение-сжатие жёстких стержней. Расчёт на прочность. Ядро сечение

Внецентренное сжатие (растяжение) – сложный вид сопротивления, при котором нагрузка приложена не в центре тяжести сечения, а смещена на некоторое расстояние (эксцентриситет), линия действия силы параллельна оси стержня. При этом возникают внутренние усилия: продольная сила и изгибающий момент. При рассмотрении сложных видов сопротивления используется принцип суперпозиции.

Рис. 18. 1. Схема нагружения при внецентренном растяжении (слева) и внутренние усилия, соответствующие такому виду сопротивления (справа)

Здесь положительными считаются моменты, вызывающие растягивающие напряжения в точках, принадлежащих положительной четверти осей координат, совпадающих с главными центральными осями инерции сечения.

В связи с тем, что при внецентренном сжатии (растяжении) возникают несколько внутренних силовых факторов (N, My, Mz), в поперечном сечении нормальное напряжение будет определятся с помощью полученной ранее зависимости (17.1), которую можно привести к виду

Здесь — квадраты радиусов инерции относительно главных центральных осей z и y; N, yF, zF, y, z подставляют с учетом их знаков.

Т.к. на нейтральной оси напряжение равно нулю, то уравнение нейтральной оси запишется как

где z , y – координаты нейтральной оси.

Отрезки аz и аy , которые отсекает нулевая линия на осях координат, могут быть найдены из (18.2), если положить z = 0, y = 0.

Знак «-» в этих зависимостях указывает на то, что нулевая линия проходит через те четверти, которые не содержат точки приложения силы (рис. 18.2).

Рис. 18.2. Положение нейтральной оси и эпюра напряжений

Условие прочности можно записать как

Выбор зависимости обуславливается формой сечения. Для хрупкого материала необходимо рассматривать сжатую и растянутую зону и записывать условие прочности для той и для другой.

Ядро сечение – это область вокруг центра тяжести сечения, обладающая следующим свойством: если сжимающая сила приложена в области ядра сечения, то эпюра нормальных напряжений имеет один знак «-» (сжатие). Это актуально для хрупких материалов, т.к. они по разному сопротивляются сжатию и растяжению. С экономической точки зрения выгодно приложить нагрузку таким образом, чтобы все сечение претерпевало сжатие, т.к. расчетное сопротивление сжатию значительно превышает расчетное сопротивление растяжению у хрупких материалов.

Читайте также:  Чем лучше снимать нервное напряжение

Из определения ядра сечения следует порядок его построения. Если нейтральная ось касается контура сечения, то точка приложения силы находится на границе ядра сечения. Для любого положения нейтральной оси, определяемой отрезками на осях y и z, можно найти координаты соответствующей точки приложения силы (18.5). Соединяя эти точки линей, получится контур ядра – это обязательно выпуклая фигура. Минимальное количество касательных в виде нейтральных осей, которые необходимо проводить для определения контура ядра, зависит от формы поперечного сечения стержня.

Рис. 18.3. Ядро сечения

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Вывод формулы результирующих напряжений при внецентренном растяжении-сжатии, уравнение нейтральной линии, условие прочности.

Рассмотрим стержень, нагруженный в точке сечения с координатами xF, yF силой F, параллельной продольной оси z.

Это случай внецентренного сжатия.

В сечениях стержня возникают следующие внутренние силовые факторы:

Суммарное нормальное напряжение от действия этих факторов возникает в точке сечения с координатами x, y:

С целью нахождения опасных точек сечения определим положение нейтральной линии, для этого приравняем напряжение, возникающее в точках нейтральной линии, к нулю:

откуда уравнение нейтральной линии имеет следующий вид:

где , — радиусы инерции сечения.

Определим длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:

Условия прочности при внецентренном растяжении-сжатии:

Аналогично данному виду деформации ведется расчет на прочность элементов конструкции, работающих при совместном действии изгиба и растяжения-сжатия.

Вывод формулы Эйлера для определения критической силы.

Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.

Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.

Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.

Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.

Читайте также:  Индикатор напряжения отвертка принцип работы

Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»

Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .

Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точкеА и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:

Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у, а изгибающий момент равен

По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и .)

Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:

деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение , так как величина критической силы нам неизвестна.

Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:

в точке А при х = 0 прогиб у = 0,

В х = 1 у = 0.

Из первого условия следует (так как и coskx =1)

Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением

Применяя второе условие, подставляем в это уравнение

у = 0 и х = l

Отсюда следует, что или а или klравны нулю.

Еслиа равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sinkl = 0, и величина может иметь следующий бесконечный ряд значений:

где — любое целое число.

Отсюда , а так как то

Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять .

Первый корень =0 требует, чтобы было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение . Тогда получаем выражение для критической силы:

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 734 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Adblock
detector