Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок при изгибе
В общем случае при изгибе любая точка балки находится в упрощенном плоском напряженном состоянии (рисунок 1.14), по граням которого действуют как нормальные, так и касательные напряжения
Решая обратную задачу для такого напряженного состояния, можно найти положение главной площадки aо и величины главных напряжений σ1, σ3 по следующим зависимостям
Проведем анализ напряженного состояния опасных точек балки. Для этого рассмотрим расчетную схему простой балки с эпюрами поперечной силы Q и изгибающего момента M (рисунок 1.15). По высоте сечения этой балки построим эпюры нормальных, касательных и главных напряжений с учетом зависимостей (1.8)-(1.10).
В общем случае полная проверка прочности балки при изгибе выполняется по следующим трем типам опасных точек.
Опасные точки I типа: по длине балки находятся в сечениях, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент (сечение I-I), а по высоте балки – в крайних волокнах сечения, где возникают максимальные нормальные напряжения (точки 1 и 5). В этих точках имеет место линейное напряженное состояние. Условие прочности для точек I типа представляет такой вид (основное условие прочности)
Опасные точки II типа располагаются по длине балки в сечениях с максимальной поперечной силой (сечение II-II левое и правое), а по высоте балки – на уровне нейтральной линии (точка 3 левая и правая), где действует максимальное касательное напряжение. В этих точках возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет такой вид:
Опасные точки III типа располагаются в сечениях балки, где возникает неблагоприятное сочетание больших изгибающего момента и поперечной силы (сечение III-III левое и правое), а по высоте балки – между крайними волокнами и нейтральной линией, где одновременно большие нормальные и касательные напряжения (точки 2 и 4 левая, правая). В этих точках возникает упрощенное плоское напряженное состояние. Условие прочности для точек III типа записывается согласно теории прочности (например, для пластичного материала: по III или IV теории).
Если по мере выполнения расчетов прочность по одному из условий не выполняется, то необходимо увеличить размеры сечения балки или увеличить номер профиля согласно таблицам сортамента.
Приведенный выше анализ напряженного состояния балок при изгибе позволяет рационально проектировать элементы балочных конструкций с учетом особенностей их нагружения. Так, например, для железобетонных конструкций целесообразно использовать стальную арматуру и располагать её по линиям, совпадающим с траекторией главных растягивающих напряжений.
Дата добавления: 2015-02-10 ; просмотров: 226 ; Нарушение авторских прав
Источник
Анализ напряженного состояния при изгибе
При поперечном изгибе балки в произвольных сечениях действуют изгибающие моменты Мх и поперечные силы Qy. Изгибающие моменты приводят к действию нормальных напряжений, поперечные силы – касательных напряжений (рис. 8.26).
Рассмотрим бесконечно малый элемент на боковой поверхности балки, находящимся на расстоянии у от нейтральной оси х. Он будет испытывать плоское напряженное состояние. Нормальные напряжения на горизонтальной площадке отсутствуют, так как продольные волокна не давят друг на друга. На вертикальных площадках действуют нормальные напряжения. Для плоского напряженного состояния величина главных напряжений определяется как:
В нашем случае σx = σ, σy = 0, τxy = τ. Следовательно,
Положение главных площадок определяется как:
Исследуем напряженное состоянии в трех точках поперечного сечения (рис. 8.23в):
· точка 1 – верхние волокна ,
· точка 2 – нейтральный слой ,
· точка 3 – нижние волокна .
Наибольшие касательные напряжения в каждой рассматриваемой точке можно найти как:
Вычислив аналогично главные напряжения для промежуточных точек поперечного сечения, можно построить эпюры главных растягивающих σ1 и главных сжимающих напряжений, а также эпюру наибольших касательных напряжений (рис.8.26с).
По найденным значениям главных напряжений можно построить траектории главных напряжений. Траекториями главных напряжений при изгибе называются линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направлением главных напряжений в этой точке.
На рис. (8.27а) показаны траектории главных напряжений для однопролетной балки, загруженной равномерно распределенной нагрузкой. Сплошными линиями показаны траектории главных растягивающих напряжений σ1, пунктирными – главных сжимающих напряжений σ2.
Трещины в материалах, плохо работающих на растяжение, появляются перпендикулярно траекториям главных растягивающих напряжений σ1. При проектировании железобетонных балок арматуру целесообразно располагать по направлению траекторий главных растягивающих напряжений σ1. Траектории главных растягивающих σ1 и главных сжимающих напряжений σ2 пересекаются под углом 45 0 .
Траектории главных напряжений зависят от типа нагрузки и вида закреплений балки. На рис. (8.27в) показаны траектории главных напряжений для консольной балки, загруженной сосредоточенной силой Р.
Дата добавления: 2015-12-11 ; просмотров: 1994 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Источник
Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок при изгибе
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Понятие изгиба. Нейтральная линия
Изгибом называется вид деформации, при котором происходит искривление оси бруса. В дальнейшем будем рассматривать деформацию плоского прямого изгиба, при котором силовая плоскость проходит через одну из главных центральных осей сечения (рисунок 1.1).
Кроме прямого изгиба, может возникать косой изгиб, при котором силовая плоскость совпадает только с одной центральной осью, т.е. проходит под некоторым углом к главным центральным осям (рисунок 1.2).
В зависимости от возникающих в балке внутренних силовых факторов (ВСФ) различают чистый и поперечный изгиб (рисунок 1.3).
Чистым изгибом называется изгиб, при котором в сечении балки действует только изгибающий момент, а поперечным называет-
ся изгиб, при котором действуют как изгибающий момент, так и поперечная сила.
В общем случае при изгибе часть слоев (волокон) бруса удлиняется, а другая часть укорачивается, т.е. в этих волокнах возникает деформация растяжения или сжатия соответственно. При этом существует такой слой, называемый нейтральным, длина которого не изменяется, хотя слой искривляется. В поперечном сечении бруса этот слой характеризуется нейтральной линией (рисунок 1.4).
Как показывают расчеты нейтральная линия проходит через главную центральную ось сечения, расположенную перпендикулярно к силовой линии.
Нейтральную линию иногда называют нулевой линией, т.к. в ее точках нормальные напряжения и продольные деформации отсутствуют, т.е. σ = 0 и ε = 0.
1.2 Напряжения при чистом изгибе. Основное условие прочности
В теории изгиба принимаются следующие допущения:
1 Справедлива гипотеза плоских сечений.
2 По высоте сечения бруса волокна не имеют веса, т.е. не давят друг на друга. Принимается упрощенная схема напряженного состояния (рисунок 1.5).
3 По ширине сечения бруса напряжения являются постоянными (рисунок 1.6).
При чистом изгибе возникают только нормальные напряжения, для расчета которых используется следующая зависимость:
где σy – нормальные напряжения в точке сечения бруса, находящейся на расстоянии y от нейтральной линии, мПа;
Mизг– изгибающий момент в данном сечении, Нм;
Ix – осевой момент инерции сечения относительно оси х, м 4 ;
y – ордината исследуемой точки, м (рисунок 1.7).
Анализируя зависимость (1.1), можно заключить, что нормальное напряжение изменяется по линейному закону, увеличиваясь от центра сечения к его краям. Причем максимальные напряжения, возникающие в крайних волокнах, можно
определить по формуле
где – осевой момент сопротивления сечения, м 3 .
Зависимости (1.1) и (1.2) графически можно представить в виде следующей эпюры напряжений (рисунок 1.8).
При проектировании балочных конструкций целесообразно применять профили, имеющие рациональную форму с точки зрения полученной эпюры напряжений. Считается, что профиль (или сечение), у которого большая часть материала располагается в крайних волокнах, является рациональным. (например, двутавр, швеллер, пустотелый прямоугольник, сдвоенный уголок).
При чистом изгибе расчет на прочность по нормальным напряжениям s производится по следующему условию:
Условие (1.3) является основным условием прочности при изгибе. При помощи этого условия можно выполнить следующие виды расчетов:
– проверочный выполняется по условию (1.3);
– проектировочный выполняется по условию
– расчет максимальной грузоподъемности
При расчете на прочность балок, изготовленных из разных материалов, необходимо учитывать различную их способность сопротивляться растягивающим и сжимающим напряжениям. При этом следует придерживаться следующих рекомендаций:
1 Если балка изготовлена из пластичного материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, т.е. [σр] = [σc], то целесообразно использовать сечения, симметричные относительно нейтральной линии. В этом случае на прочность проверяются крайние точки сечения балки,
2 Если материал балки хрупкий, лучше воспринимающий сжимающие напряжения, чем растягивающие, т.е. [σр] 3 , находится по известной зависимости
Ix – осевой момент инерции всего сечения относительно оси x (нейтрального слоя), м 4 ;
b(y) – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки (с учетом имеющихся пустот), м.
Касательные напряжения, определяемые по формуле (1.7), имеют значительную величину только для коротких балок с большой высотой сечения h>>l, в противном случае этими напряжениями в практических расчетах можно пренебречь. Анализ зависимости (1.7) показывает, что при поперечном изгибе максимальные касательные напряжения будут возникать в точках, расположенных на уровне нейтрального слоя сечения балки (рисунок 1.13).
Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок при изгибе
В общем случае при изгибе любая точка балки находится в упрощенном плоском напряженном состоянии (рисунок 1.14), по граням которого действуют как нормальные, так и касательные напряжения
Решая обратную задачу для такого напряженного состояния, можно найти положение главной площадки aо и величины главных напряжений σ1, σ3 по следующим зависимостям
Проведем анализ напряженного состояния опасных точек балки. Для этого рассмотрим расчетную схему простой балки с эпюрами поперечной силы Q и изгибающего момента M (рисунок 1.15). По высоте сечения этой балки построим эпюры нормальных, касательных и главных напряжений с учетом зависимостей (1.8)-(1.10).
В общем случае полная проверка прочности балки при изгибе выполняется по следующим трем типам опасных точек.
Опасные точки I типа: по длине балки находятся в сечениях, где действует максимальный по абсолютному значению изгибающий момент (сечение I-I), а по высоте балки – в крайних волокнах сечения, где возникают максимальные нормальные напряжения (точки 1 и 5). В этих точках имеет место линейное напряженное состояние. Условие прочности для точек I типа представляет такой вид (основное условие прочности)
Опасные точки II типа располагаются по длине балки в сечениях с максимальной поперечной силой (сечение II-II левое и правое), а по высоте балки – на уровне нейтральной линии (точка 3 левая и правая), где действует максимальное касательное напряжение. В этих точках возникает частный случай плоского напряженного состояния – чистый сдвиг. Условие прочности имеет такой вид:
Опасные точки III типа располагаются в сечениях балки, где возникает неблагоприятное сочетание больших изгибающего момента и поперечной силы (сечение III-III левое и правое), а по высоте балки – между крайними волокнами и нейтральной линией, где одновременно большие нормальные и касательные напряжения (точки 2 и 4 левая, правая). В этих точках возникает упрощенное плоское напряженное состояние. Условие прочности для точек III типа записывается согласно теории прочности (например, для пластичного материала: по III или IV теории).
Если по мере выполнения расчетов прочность по одному из условий не выполняется, то необходимо увеличить размеры сечения балки или увеличить номер профиля согласно таблицам сортамента.
Приведенный выше анализ напряженного состояния балок при изгибе позволяет рационально проектировать элементы балочных конструкций с учетом особенностей их нагружения. Так, например, для железобетонных конструкций целесообразно использовать стальную арматуру и располагать её по линиям, совпадающим с траекторией главных растягивающих напряжений.
Деформации при изгибе
Общие понятия
В теории изгиба расчет на прочность балок дополняется расчетом на жесткость. При этом оценивается упругая податливость балки и определяются такие её размеры, при которых возникающие деформации не превышали бы допустимых пределов. Тогда условие жесткости можно представить в таком виде:
где fmax – максимальная расчетная деформация (линейная или угловая);
[f] – допускаемая деформация.
Рассмотрим основные параметры деформированного состояния нагруженной балки (рисунок 2.1).
Упругая линия (у.л.) – искривленная ось балки под действием нагрузки.
Прогиб (y) –– линейное перемещение центра тяжести сечения, отсчитываемое перпендикулярно к исходной оси балки, м.
Горизонтальное смещение (u) балки, обычно бесконечно малая величина, принимаемая равной 0.
Угол поворота (θ) – угловое перемещение сечения относительно начального положения (иногда может определяться как угол между касательной к упругой линии и исходной осью), град, рад.
При изгибе балки для линейных и угловых перемещений (y и θ) принимают следующие правила знаков (рисунок 2.2):
— прогибy считается положительным, если перемещение точки происходит вверх, т.е. в направлении оси у;
— угол поворота θ считается положительным при повороте сечения против часовой стрелки (это справедливо для правой системы координат, для левой-наоборот).
Между прогибом и углом поворота существует дифференциальная зависимость, которую можно получить рассматривая бесконечно малые координаты некоторой плоской кривой (рисунок 2.3).
На основании (2.3) угол поворота в данном сечении равен производной прогиба по абсциссе сечения.
Таким образом, для нахождения линейных или угловых деформаций в реальных балках необходимо знать её уравнение упругой линии (УУЛБ), которое в общем виде можно представить как функцию от абсциссы сечения
Рассмотрим методы нахождения деформаций при изгибе, основанные на составлении и решении уравнения упругой линии балки.
Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 4187 ; Мы поможем в написании вашей работы!
Источник