Меню

Среднеквадратическое значение напряжения формула

Среднеквадратичное (действующее, эффективное) значение

Содержание

Что же из себя представляет среднеквадратичное значение напряжения и как его замерить? Давайте разберем значение этого термина. Поможет нам в этих делах наш осциллограф OWON SDS6062 , Блок питания, а также ЛАТР (Лабораторный автотрансформатор). Для того, чтобы разобраться в этом, мы проведем простейший опыт.

Лампочка и постоянное напряжение

Для опытов нам также понадобится простая автомобильная лампа накаливания на напряжение 12 Вольт

Вот ее характеристики: рабочее напряжение U=12 Вольт, мощность Р = 21 Ватт.

Следовательно, зная мощность и напряжение лампы, можно узнать, какую силу тока будет потреблять лампочка. Из формулы P=IU, где I – сила тока, можно найти I. Значит I=P/U=21/12=1,75 Ампер.

Ладно, с лампочкой разобрались. Давайте ее зажжем. Для этого на нашем блоке питания выставляем рабочее напряжение для нашей лампы

Подаем напряжение с блока питания на лампу и вуаля!

Замеряем напряжение на клеммах-крокодилах блока питания с помощью мультиметра . Ровнехонько 12 Вольт, как и предполагалось.

К этим же клеммах цепляем и наш осциллограф

Видите прямую линию? Это и есть осциллограмма постоянного напряжения. В течение времени у нас напряжение остается таким, каким и было и не меняется. Если посчитать, то можно вычислить, чему равняется напряжение. Так как одна клеточка у нас 5 Вольт (на фото внизу слева), то значит, наше напряжение 12 Вольт. Я также вывел это значение на дисплей осциллографа в самом нижнем левом углу: 12,03 Вольт. Все верно.

Замеряем силу тока. Как правильно замерить силу тока в цепи, можно узнать, прочитав статью как измерить ток и напряжение мультиметром?.

Получили 1,72 Ампер. А как вы помните, наше расчетное значение было 1,75 Ампер. Думаю, вину можно переложить на погрешность прибора или на лампочку 😉

Лампочка и переменное напряжение

Теперь начинается самое интересное. Берем наш ЛАТР

Ставим прибор на измерение переменного напряжения и выставляем с помощью крутилки ЛАТРа напряжение в 12 Вольт. Обратите внимание, что крутилка на мультиметре находится в диапазоне измерения переменного напряжения. Забегая вперед, скажу, что мультиметр измеряет среднеквадратичное напряжение.

Цепляем осциллограф к клеммах ЛАТРа, не забывая на осциллографе выставить замеры переменного напряжения и смотрим получившуюся осциллограмму:

Смотрим, сколько силы тока кушает наша лампочка. Все как положено, 1,71 Ампер.

Среднеквадратичное значение напряжения

Итак, что же у нас получилось? Как и постоянное напряжение, так и переменное напряжение зажигали одну и ту же лампочку, которая кушала одну и ту же мощность. Значит эта осциллограмма

и вот эта осциллограмма

Чем то похожи? Но чем.

Среднеквадратичное значение напряжения – это такое значение переменного напряжения, при котором нагрузка потребляет столько же силы тока, как и при постоянном напряжении. То есть лампочка у нас потребляла 1,71 Ампер и при постоянном токе и при переменном. То есть, в двух этих случаях, мощность, которую потребляла лампочка, была одинакова.

Также среднеквадратичное напряжение еще называют действующим или эффективным значением напряжения. С помощью несложных умозаключений, инженеры-электрики пришли к выводу действующее (оно же среднеквадратичное) напряжение синусоидального сигнала любой частоты равняется максимальной его амплитуде, поделенной на корень из двух

Стоп! Мы ведь не разобрали, что такое максимальная амплитуда! На осциллограмме максимальная амплитуда выглядит примерно вот так:

Если даже посчитать по клеточкам и посмотреть, чему равняется одна клеточка по вертикали (смотрим внизу слева, она равняется 5 Вольт), то U max = 17 Вольт. Делим это значение на корень из двух. Я беру это значение как 1,41. Получаем, что среднеквадратичное значение равняется 17/1,41=12,06 Вольт. Ну что, все верно 😉

Значит, когда нам говорят, что напряжение в розетке равняется 220 Вольт, то мы то знаем, что на самом деле это среднеквадратичное напряжение. Максимальная амплитуда этих 220 Вольт равняется 220х1,41=310 Вольт.

Где же среднеквадратичное напряжение и максимальная амплитуда сигнала прячутся на табличке измерений? Да вот же они!

Vk – это и есть среднеквадратичное напряжение этого сигнала.

Конечно, 16,6/1,41=11,8 Вольт, а он пишет 12,08 Вольт.

Источник



Среднеквадратичное значение

В зарубежной терминологии применяется аббревиатура RMS (rms) — root mean square.
В математике для набора чисел x1, x2, . xn количеством n среднеквадратичное значение (rms) определяется выражением:

Например, для чисел 2,3 и 6 среднеквадратичным значением будет квадратный корень из (2²+3²+6²)/3. √(49/3) = 4.04

Среднеквадратичным значением двух или нескольких чисел является квадратный корень из среднеарифметического значения квадратов этих чисел.

Для любой непрерывной функции в интервале T1T2 среднеквадратичное значение можно рассчитать по формуле:

Среднеквадратичное значение применяется в расчётах, где существует пропорциональная зависимость не самих переменных значений, а их квадратов.

Действующее значение напряжения и тока

В качестве примера можно рассмотреть квадратичную зависимость мощности или работы электрического тока от значений тока или напряжения.

P = I²R; A = I²Rt; P = U²/R; A = U²t/R

Величина постоянного напряжения или тока является его среднеквадратичным значением.
Среднеквадратичное значение переменного тока равно величине постоянного тока, действие которого произведёт такую же работу в активной (резистивной) нагрузке за время периода.
Определяющим фактором здесь является среднее (среднеарифметическое) значение мощности P avg или работы A avg, пропорциональное квадрату значения тока.
Так же среднеквадратичное значение переменного напряжения за период равносильно по своему воздействию на активную нагрузку такому же значению постоянного напряжения.

P = UI = P avg = U rmsI rms

Читайте также:  Каким огнетушителем можно тушить электроустановки под напряжением до 1000в тест

Среднеквадратичное значение переменного напряжения или тока часто называют действующим или эффективным.

Величину переменного напряжения или тока, в большинстве случаев, выражают его среднеквадратичным значением и измеряют приборами электромагнитного типа или специальными среднеквадратичными измерителями — True RMS.

Примечание:
Электромагнитные приборы используют для измерения переменного тока и напряжения в промышленных установках. Усилие, создаваемое измерительной катушкой в электромагнитном приборе, пропорционально квадрату тока, поэтому не меняется по направлению.
Угол отклонения стрелки определится некоторым средним усилием F, которое будет пропорционально среднеквадратичному значению тока.

Расчёт действующего значения

В качестве примера рассчитаем среднеквадратичное значение синусоидального напряжения.

Запишем выражение U rms с применением интеграла функции U = U ampsin(t) для одного периода 2π :


Показать расчёт

Вынесем U amp из под знака радикала. Воспользуемся табличным интегралом , перепишем и решим последнее выражение с применением формулы Ньютона-Лейбница:

Так как sin(2π), sin(4π) и sin(0) равны нулю, вычисляем RMS синусоиды следующим образом:

В результате решения в итоге получим:

Расчёт RMS для напряжения или тока треугольной и пилообразной формы можно рассмотреть на примере одного периода T для функции , представленной на рисунке:

Выразим U rms искомой функции с помощью определённого интеграла:


Показать расчёт

Используя табличный интеграл и формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

В итоге преобразований получим:

Ток или напряжение любой сложной формы можно рассмотреть, как набор функций в пределах периода. Тогда значением RMS будет квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов для квадрата каждой функции, ограниченной её интервалом времени в периоде.
Например, для множества функций F1(t) , F2(t) , . , F n(t) в соответствующих им интервалах времени (0 — T1), (T1T2), . (T nT), составляющих период T, действующее напряжение (RMS) определится выражением:

Для вариантов однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы в периоде 2T или 4T, представленных на рисунке ниже, T и U amp имеют те же расчётные величины, что и в рассмотренном случае c функцией , а интегралы, определённые в интервалах, равных T, для квадратов используемых функций , будут иметь одно и то же значение

Следовательно, вышеуказанные варианты однополярного или двуполярного напряжения пилообразной и треугольной формы будут иметь среднеквадратичное значение .

В заключении рассмотрим пример вычисления действующего значения положительных прямоугольных импульсов длительностью T i .

Выразим U rms одного периода T, как квадратный корень из среднеарифметического значения интегралов, определённых в интервалах 0 — T i и T iT для квадратов всех значений периода.

В результате получаем значение RMS, равное произведению амплитуды импульсов U amp на квадратный корень из коэффициента заполнения (T i / T).

В качестве дополнительного материала предлагаем рассмотреть расчёт средеквадратичного значения напряжения накала кинескопа цветного телевизора, исходя из амплитуды и формы напряжения.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Источник

Среднеквадратическое значение напряжения формула

Расчет среднего и среднеквадратичного значений тока и напряжения: формулы и калькулятор

Данный текст является расширенным и углубленным вариантом моей старой заметки на сайте we.easyelectronics.ru.

В рамках данной заметки рассмотрим способы вычисления среднего и среднеквадратичного значений тока и напряжения. При этом для простоты ограничимся формами сигнала, характерными для импульсных источников питания. Обращаю ваше внимание – все формулы, приводимые в заметке, даются без выводов, дабы не забивать головы читателей мутной и не особо нужной херней. С другой стороны, если кому-то интересно, откуда данные формулы взялись – можно скачать файл, в котором приведены все необходимые выводы с пояснениями.

Будучи в недавнем прошлом яростным разработчиком всевозможных импульсных источников питания (ИИП), интересовался всяким по данной теме (да и сейчас, бывает, трясу стариной). В частности, весьма важными мне всегда казались такие характеристики сигнала, как среднее и среднеквадратичное значение токов и напряжений в различных точках схемы, поскольку при расчетах ИИП данные параметры используются сплошь и рядом. Чтобы понять, где могут быть полезны данные характеристики, сначала определимся с тем, что мы под ними понимаем.

Естественно, существуют строгие «математические» определения как для среднего, так и для среднеквадратичного значений физических величин, периодически изменяющихся во времени по некоторому закону. Однако, больно уж они мутные и абстрактные, и, на мой взгляд, нужны только при выводе формул. Разработчику же гораздо важнее понимать физический смысл используемых в расчетах величин, поэтому приводимые ниже определения среднего и среднеквадратичного значений будут носить сугубо прикладной характер.

Среднее значение переменного тока или напряжения (во вражеских терминах AVG) – это просто их постоянная составляющая. Поэтому вполне очевидно, что среднее значение широко применяется при расчетах схем, выделяющих из переменного сигнала постоянный уровень. Простейший понижающий преобразователь (Step-Down) с LC-фильтром на выходе, RC-цепочка, призванная выделить постоянное напряжение из поступающего на вход ШИМ-сигнала – всё это примеры того, где без использования среднего значения физической величины ничего толком не посчитаешь.

Среднеквадратичное (действующее, эффективное) значение определяется немного сложнее. Как известно, любой переменный ток (напряжение), проходя через активную линейную нагрузку (например, резистор), выделяет на ней некоторое количество тепла. Но так поступает не только переменный сигнал – постоянный ток тоже будет греть резистор.

Так вот, среднеквадратичное значение переменного тока или напряжения (во вражеских терминах RMS) – это такой постоянный ток (напряжение), который за одинаковый промежуток времени нагреет один и тот же резистор точно так же, как и исходный переменный сигнал. Поэтому одно из важнейших применений среднеквадратичного значения – расчет потерь и соответствующего нагрева для различных элементов силовых цепей ИИП. Хочешь узнать статические потери на ключе флайбэка – будь добр посчитать среднеквадратичное значение тока первички. Надо узнать мощность токосчитывающего резистора – туда же. Даже потери (и приблизительный нагрев) в обмотках трансов и дросселей для хиленьких источников и невысоких частот преобразования в первом приближении можно посчитать при помощи среднеквадратичного значения тока, через эти обмотки протекающего.

Читайте также:  Импульсные регуляторы напряжения постоянного тока

В общем, среднее и среднеквадратичное значения используются довольно часто. Поэтому неплохо было бы уметь их рассчитывать для любого сигнала, который может нам встретиться в импульсном источнике питания. При этом лично я разделяю токи и напряжения в ИИП на две большие группы: сигналы с простой формой (элементарные) и сигналы со сложной формой (т.е. те, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких элементарных). И поскольку принципы расчета среднего и среднеквадратичного значений для этих двух групп немного отличаются, предлагаю рассмотреть их по отдельности.

Сигналы простой формы

У сигналов простой формы вычислить среднее и среднеквадратичное значение довольно легко – для этого надо всего лишь взять соответствующую формулу и подставить в нее нужные значения. Чтобы постоянно не шариться по различным справочникам, я завел себе специальную табличку, в которую свел расчетные формулы для наиболее часто встречающихся элементарных сигналов:

(данные формулы, кстати, взяты не с потолка – их вывод при желании можно посмотреть в специальной заметке-пояснении).

Здесь хотелось бы заострить внимание на нескольких моментах. Во-первых, на приведенных выше рисунках рассматривается по два варианта каждого из простейших сигналов: «в общем виде» и «без смещения». При этом с точки зрения разработчика импульсных источников питания наиболее интересным обычно является именно второй вариант, поэтому для него и даны отдельные формулы (чтобы постоянно не подставлять С=0 в «общие» выражения). Во-вторых, пилообразное напряжение, вообще говоря, является сложным сигналом, поскольку может быть представлено в виде суммы двух простых (либо трапеций, либо треугольников). Однако, пила настолько часто встречается при расчетах ИИП, а выражения AVG и RMS для нее настолько лаконичны и красивы, что я в результате включил-таки ее в список сигналов, среднее и среднеквадратичное значение которых вычисляется тупо всего по одной формуле. Ну и в-третьих, вышеприведенная таблица, в принципе, могла бы состоять всего из одной трапеции, ибо из нее легко получить как прямоугольник, так и треугольник, поставляя соответствующие значения «H», «L» и «C». Однако практика показала, что постоянно этим заниматься весьма муторно, ибо мы рассчитываем источник, а не тренируем математические навыки. Поэтому в итоге я себе выписал готовые формулы AVG и RMS для прямоугольника и треугольника, что оказалось весьма и весьма удобным. Ну а в целом – как ни странно, представленные выше формулы для элементарных сигналов покрывают, наверное, 75-80% всех потребностей разработчика импульсных источников питания, что весьма немало. Однако, всё многообразие токов и напряжений в ИИП отнюдь не ограничивается вышеупомянутыми четырьмя (и даже тремя, если не учитывать пилу) формами. Поэтому рано или поздно любой разработчик импульсников сталкивается с необходимостью вычисления среднего и среднеквадратичного значения сложного сигнала (яркий пример – расчет пуш-пула).

Сигналы сложной формы

Как было сказано выше, сигналы сложной формы – это такие, которые могут быть представлены в виде суммы нескольких элементарных сигналов. Применительно к импульсным источникам питания в качестве последних выступают прямоугольник, треугольник или трапеция, и значительно реже – синус, косинус и прочая «плавная» херня. Отметим, что в данном случае, в отличие от простейших форм, нахождение аналитических выражений для среднего и среднеквадратичного значений обычно превращается в неблагодарное занятие. Например, для вывода «среднеквадратичной» формулы нам надо разбить сложный сигнал на несколько простейших, а затем извлечь квадратный корень из суммы квадратов «элементарных» среднеквадратичных значений (думаю, даже понять, о чем говорится в данном предложении, у вас получится далеко не сразу). Найти среднее значение сложного сигнала немного проще (надо просто просуммировать средние «элементарные» значения), однако поверьте – сделать из этого удобоваримую формулу в подавляющем большинстве случаев не удается:

К счастью, готовая формула для нахождения AVG и RMS сложного сигнала обычно не требуется. Чаще всего нам надо просто узнать среднее или среднеквадратичное значение тока (напряжения) именно для нашего конкретного случая, а не вывести аналитическое выражение на все случаи жизни. А это существенно упрощает задачу, ибо посчитать числовое значение AVG или RMS для каждого элементарного сигнала на соответствующем временно́м интервале не так уж и сложно. В качестве примера можно рассмотреть нахождение среднего и среднеквадратичного значения напряжения, характерного для пушпульной, полумостовой и полномостовой схем (данный расчет есть и в специальной заметке-пояснении):

Как следует из предпоследнего рисунка, для начала нам надо разбить исходный сигнал на элементарные. Очевидно, что это будут три трапеции и один прямоугольник:

Дальше нам надо посчитать среднее и среднеквадратичное значение каждого из четырех элементарных сигналов, для чего воспользуемся формулами из вышеприведенной таблицы. Начнем с первого из них — трапеции №1. Как видно из последнего рисунка, это трапеция без смещения с параметрами

Поэтому в соответствии с формулами для трапеции, приведенными выше, будем иметь:

Сигнал №2 – это тоже трапеция без смещения. Параметры данной трапеции будут таковы:

Читайте также:  Параметры выбора стабилизатора напряжения

Поэтому среднее и среднеквадратичное значение второго сигнала составят соответственно

Трапеция №3 полностью совпадает с трапецией №1, просто она сдвинута вправо на полпериода. Поэтому как параметры третьего сигнала, так и его среднее и среднеквадратичное значения будут равны соответствующим значениям первого сигнала:

Ну и остался сигнал №4. Данный сигнал представляет собой прямоугольник с параметрами

И после использования формул для вычисления среднего и среднеквадратичного значения сигнала №4, получим следующее:

Теперь у нас есть все данные для нахождения AVG и RMS исходного сигнала. Как было сказано выше, среднее значение находится как сумма средних значений элементарных сигналов, на которые был разложен «исходник», а среднеквадратичное – как квадратный корень из суммы квадратов «элементарных» среднеквадратичных значений. То есть в нашем случае будем иметь

Для проверки полученного результата используем широко распространенное бесплатное ПО LTSpice IV от компании Linear Technology Corporation (LTC). Сгенерировав сигнал с требуемыми параметрами, измерим в эмуляторе среднее и среднеквадратичное его значение за 5 периодов:

Как видим, результаты работы эмулятора полностью совпадают с расчетными AVG и RMS, т.е. предложенный способ вычисления среднего и среднеквадратичного значений для сложного сигнала вполне имеет право на жизнь. Более того, способ этот довольно прост и не требует от разработчика ИИП никаких особых математических навыков. С другой стороны, муторность рассмотренного алгоритма также налицо. Лично меня дичайше бесит постоянно считать на калькуляторе и выписывать на бумажку средние и среднеквадратичные значения для всех элементарных сигналов, на которые раскладывается исходный, а пото́м складывать их на том же калькуляторе (и это в лучшем случае, ибо если требуется RMS, всё становится еще волшебнее). Поэтому я принял решение сделать себе некий инструмент, упрощающий жизнь разработчика ИИП, которым и хотел бы поделиться с читателями.

Данный инструмент – это такая специальная «программа» (cko4aTb бесплатно). «Программа» представляет собой обычный экселовский файл (т.к. программист я тот еще), поэтому для работы нам потребуется «Excel» (у меня вот такой: Microsoft® Excel 2002 (10.4302.2625)). Изначальная и основная задача рассматриваемой «программы» – отрисовка формы трапецеидального сигнала с заданными параметрами (рисуется один период), а также вычисление среднего и среднеквадратичного значений для этого сигнала. Также «программа» умеет рисовать переменную составляющую заданной трапеции (она получается если из исходного сигнала вычесть постоянную составляющую) и вычислять ее RMS-значение (это уж так, чисто на всякий случай). Ну и еще предлагаемый софт позволяет быстро посчитать среднее и среднеквадратичное значения для сложного сигнала, состоящего максимум из 16-ти различных элементарных (большее количество в реальной жизни вряд ли потребуется):

Почему в качестве основы взята именно трапеция? Потому что, как было сказано выше, из нее легко получить все основные формы сигналов, встречающихся в импульсных источниках питания, а именно – прямоугольник и треугольник:

Ну а уж на основе этих базовых сигналов можно сляпать и пилу, и напряжение на стоке ключа во флайбэке, и то, что творится на вторичке пушпула и многое другое.

Пользоваться «программой» очень просто. Исходные данные для трапеции вводятся слева в ячейки, выделенные зеленым цветом. После этого чуть ниже можно посмотреть на форму сигнала с введенными параметрами, а еще ниже отобразятся рассчитанные среднее и среднеквадратичное значения этого сигнала. За переменную составляющую трапеции отвечает правый нижний угол экрана (здесь рисуется ее график и рассчитывается значение RMS). Ну а для работы со сложным сигналом предназначен правый верхний угол. Здесь в ячейки, выделенные зеленым цветом, вводятся средние и среднеквадратичные значения элементарных сигналов, из которых состоит «исходник», а ниже рассчитываются уже́ его собственные AVG и RMS.

Отмечу, что на всю «программу» наложена магическая защита, позволяющая редактировать только те ячейки, которые можно. При необходимости защита снимается элементарно («Сервис» => «Защита» => «Снять защиту листа»), однако делать это не рекомендую: можно по дури снести какую-нибудь нужную формулу, восстанавливать которую – лишний геморрой.

Вот, в принципе, и всё описание представленной «программы». Несмотря на свою простоту и очевидность, данный софт довольно существенно помогает и экономит время при расчетах ИИП (ну, во всяком случае, у меня происходит именно так). Например, на расчет среднего и среднеквадратичного значения сложного сигнала, приведенного в предыдущем пункте, понадобится менее минуты. Последовательность действий проста – вводим параметры первой трапеции, затем переписываем рассчитанные для нее значения AVG и RMS в ячейки секции сложного сигнала. Затем то же самое проделываем для остальных трех элементарных функций, из которых состоит «исходник». Всё, остальное «программа» сделает сама, не надо никаких шаманств с бумажками и калькуляторами:

Ну а у меня на сегодня всё. Желаю удачи при проектировании и изготовлении импульсных (и не только) источников питания!

Обсудить эту заметку можно здесь

Ссылки по теме, документация

Заметка-пояснение с выводом формул и примером расчета среднего и среднеквадратичного значений сложного сигнала:

Калькулятор для упрощения вычислений среднего и среднеквадратичного значений простых и сложных сигналов:

Место для разного (сдается)

Создание, «дизайн», содержание «сайта»: podkassetnik
Для писем и газет: Почта России электрическая

Место для &#169 (копирайта, понятно, нет, но ссылайтесь хотя бы на первоисточник)

Источник

Adblock
detector