Меню

Синтез систем с линейными регуляторами

Spacer type=block align=LE

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

РАЗДЕЛ 2: СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ.


Тема 7:Синтез регуляторов линейных САУ


Постановка задачи синтеза регуляторов

Синтез регуляторов (корректировка устройств) – задача теории управления, так как необходимо учитывать особенности конкретных САУ. Другие задачи (рассматриваемые ранее) решаются другими науками. В инженерной практике необходим труд большого числа специалистов для синтеза. Эта задача аналитически точно не решается.

Стабилизация ОУ, повышение запаса устойчивости;

Обеспечение необходимости точности воспроизведения воздействий в установившемся режиме;

Обеспечение заданного качества в переходном режиме.

Большое число методов разработано для линейных стационарных систем. Большинство методов в той или иной мере основаны на аппарате математического программирования – раздел математики, посвященный методам поиска экстремумов функций многих переменных. При наличии ограничений в виде равенств или неравенств.

Решение задач этими методами часто носит эвристический характер. При синтезе регуляторов пользуются положениями и понятиями ТАУ: управление, управляемые переменные, качество управления.

Пример качества управления:

обеспечение близости x(t) к x зад = const (задача стабилизации)

обеспечение близости x(t) к x зад (t) – задача пропорционального управления.

При этом КП рассматривает функцию:

Структура скорости САУ включает в себя элементы, без которых невозможна работа системы (функционально необходимые элементы). При этом дополнительные элементы, как правило, не обеспечивают требуемого режима работы без соответствующего регулятора.

Существуют устойчивые системы, способные возвращаться к некоторому постоянному состоянию после прекращения воздействия. В управляемых объектах наличие регуляторов обязательно.

Качество процессов управления.

Идеальная система точно воспроизводящая входной сигнал представляет собой передаточную функцию = 1 на всех частотах, так как выходной сигнал точная копия входного, но таких систем, как правило, не существует. На практике идеальной считается система, реакция которой на входной сигнал — запаздывающее звено.

То есть выходной сигнал отличается от входного по амплитуде и запаздывает на некоторое время.

Реальная АЧХ имеет следующий вид:

При решении практических задач учитываются обязательно вопросы качества САУ. Напомним некоторые ключевые положения ТАУ:

1. Устойчивость системы – это свойство является одним из основных условий работоспособности любого САУ. Она означает, что переходные процессы в системе будут затухающими. Для анализа устойчивости используются различные методы. Удобно пользоваться ВЛХ (ААЧХ, РЧХ);

2. Качество переходного процесса при воздействии ступенчатой функции.

Качество переходного процесса характеризуется:

а) время управления Т j – минимальное время, в течение которого

— отклонение от устойчивого значения;

в) частота колебаний:

г) число колебаний h(t) за время t;

д) время нарастания переходного процесса: Т н – абсцисса первой точки пересечения h(t) c h уст ;

е) дикремент затухания – обозначается χ или ξ.

Оценка качества управления при гармоничных воздействиях

Корневые методы оценки качества управления: характер переходного процесса оценивается по полосам корней характеризующего уравнения замкнутого САУ.

Синтез регуляторов линейных стационарных систем .

Большинство нелинейных систем в некоторых условиях (на определенных участках фазовой траектории) могут быть представлены как линейные. При проектировании САУ применяют следующие способы коррекции динамических характеристик:

Преимущество: проще реализуемо, но чувствительней к помехам

Недостатки: предъявляют повышенные требования к основным элементам системы.

параллельная коррекция (регулятор включен параллельно);

меньше зависят от помех, проще обеспечивается питанием, но на практике элементы КОС сложнее и более громоздки и требуют больших коэффициентов усиления.

3. корректирующая ОС (регулятор – элемент местной ОС);

4. комбинированная коррекция.

При синтезе регуляторов используют ключевые понятия:

— эталонный оператор системы, обеспечивающий требуемое количество процесса;

— эталонный выходной сигнал при эталонном входном.

В задачах синтеза регуляторов выделяют следующие:

1. обеспечение устойчивости (стабилизация);

2. повышение запаса устойчивости;

3. повышение точности управления в устойчивом режиме;

4. улучшение переходного процесса.

Таким образом, при синтезе САУ необходимо обосновать структуру схемы и выбор способов технической реализации этой схемы, отвечающих динамическим, энергетическим, эксплуатируемым требованиям.

Этапы создания САУ можно представить в следующем виде:

1 этап – формулировка цели управления, выбор управляемых переменных, формулировка требований к ним.

2 этап – выбор структуры схемы, место включения корректирующих устройств. Учитываются надежность, габариты, масса…

3 этап – построение математической модели функционально необходимых элементов, задачи идентификации (параметрическая или непараметрическая).

4 этап – выбор эталонной п.функции или переходной характеристики.

5 этап – выбор и обоснование структуры корректирующих устройств.

6 этап – расчет численных параметров корректирующих устройств.

7 этап – исследование синтезируемой САУ с точки зрения достижения цели управления.

8 этап – формирование технического задания на эскизное проектирование и создание опытных образцов, серийное производство.

Методы определения структуры регуляторов.

Стабилизация объектов введением ОС по производным.

Структура схемы оборота, охваченного ОС:

Характеристическое уравнение исходной системы имеет вид:

Для скорректированной схемы:

Таким образом, видим, что структура характеристического уравнения та же, а изменились коэффициенты. Путем изменения коэффициентов можно добиться равенства многочлена (2) эталонам (требуемым). Таким образом, расположение корней характеризующего уравнения замкнутой схемы обеспечивается ОС до (n-1) порядка (необязательно включаются все производные до (n-1)).

Читайте также:  Регулятор громкости для ubuntu

Например, комбинированное звено:

 — эталонный декремент затухания.

Изменение динамических свойств системы введение дифференцирующих звеньев в прямую цепь.

Наличие дифференцирующего звена в прямой цепи позволяет формировать управляющий сигнал u(t) с прогнозом, то есть и наоборот.

Подбором k g и k с изменяют динамические свойства системы.

Влияние коэффициентов усиления и интеграторов в прямой цепи на работу САУ в установившемся режиме.

Установившаяся ошибка САУ определяется выражением:

с 0 , с 1 …- коэффициенты ошибок, соответственно по положению, по скорости и т.д.

Из ТАУ известна формула:

w(S) – п. ф. замкнутой системы

(5), где k – коэффициент усиления разомкнутой системы.

Из (5) видно, что . На основе (4) легко показать, что при включении в прямую цепь одного интегратора с 0 =0, двух с 0 =с 1 =0 и т.д. При этом необходимо проводить исследование по обеспечению устойчивости.

Влияние местных ОС.

Основные виды ОС:

1.жесткая ОС w oc (S)=k oc , действует в переходном и установочном режимах, уменьшает инерционность системы, уменьшается коэффициент передачи.

2.инерционная жесткая ОС превращает усиленное звено в реальное дифференцирующее, с помощью которого можно получить производную входного сигнала.

3.гибкая ОС w oc (S)=k oc S действует в переходных режимах, увеличивает инерционность.

4. основная инерционная гибкая ОС .

Введение в ОС апериодического звена, возможно получить дифференциальное звено.

Подробно качество системы оценивается после подстановки .

Математические модели и анализ регулятора.

Существуют основные типы регуляторов:

1.П ( пропорциональное КУ) (П — управление) w ку (S)=k;

2.И (интегральное КУ) (И — управление) ,

3.ПИ (пропорционально-интегральное) (ПИ — управление)

Возможны более сложные структуры регулятора. Необходимо учесть следующие факторы:

1. Регулятор не должен повышать действие помех; включение в прямую цепь апериодического звена повышает устойчивость; если постоянная времени его больше постоянных времени элементов этой цепи и т.д.

Например: динамические характеристики некоторых регуляторов.

По своим возможностям ПИД является наиболее универсальным, позволяющим реализовать различные задачи управления.

Решения задач расчета параметров регуляторов в линейных системах.

Существует два подхода:

Первый состоит в том, что структура и параметры регулятора определяются точно, если заданы эталонные передаточные функции системы и п. ф. ОУ.

Реализация подхода дает точное решение, но требуется учесть следующее: неточное определение п. ф. КУ может нарушить системы, могут проявиться новые свойства и сложность реализации. Сложность данного подхода в точном определении п. ф.

Вторая основная идея состоит в обеспечении приближенного равенства эталонной и реальной п. ф. Структура регулятора определяется проектировщиком, его творчеством и опытом.

Создание теории методов синтеза может быть основано в конкретном случае на построении алгоритма решения задачи синтеза.

Тема 8: Основные методы синтеза регуляторов

1 методы построения эталонной передаточной функции в процессе оптимизации задач.

2 частотный метод синтеза КУ (по ЛАЧХ)

3 применение принципа динамической компенсации

4 спектральный метод синтеза КУ(функции Лагерра)

5 метод нелинейного программирования при расчете параметров КУ

6 метод порождающих функций

7 метод моментов

Синтез дискретных регуляторов.


Модели управляемых объектов с ЭВМ.

Внедрение микропроцессорной техники в системы управления – это реальность и перспектива. При этом часть элементов системы в силу физических процессов невозможно заменить цифровыми. Таким образом, имеет место класс непрерывных дискретных систем (гибридных). Они обладают свойствами, отличающимися от непрерывных и дискретных.

Непрерывная часть таких систем описывается дифференциальными уравнениями, а дискретная – разностными. Такое смешанное описание, дополненное математическими моделями ЦАП и АЦП, представляет определенную трудность при решении задач анализа и синтеза.

Существует два подхода в практике синтеза:

представление всей системы дискретной моделью, описываемой разностными уравнениями, и на основе этого синтез дискретного регулятора.

описание системы дифференциальными уравнениями, синтез непрерывного регулятора и дальнейшая реализация его на ЦВМ.

Оба подхода широко используются, имея свои достоинства и недостатки. Процесс, управляемый с помощью ЭВМ может представляться в следующем виде:

Рисунок 8.1 – Процесс, управляемый ЭВМ

АЦП осуществляет квантование по времени и по уровням сигнала x(t ). ЦАП формирует непрерывный сигнал, являясь экстраполятором. При синтезе регуляторов квантование по уровню, как правило, не учитывается, так как предполагают нелинейное описание системы, что значительно усложняет задачу. Квантование по уровню учитывают при анализе спроектированных систем.

Некоторые важнейшие соотношения:

квантование по времени с постоянным шагом Т замеряет непрерывные сигнал x(t) импульсной последовательностью:

применив к сигналу (1) преобразование Лапласа, получим формулу прямого дискретного преобразования Лапласа:

спектр непрерывного сигнала x(jw) после квантования меняется существенно:

Из (3) следует теорема Котельникова.

Выделение непрерывного сигнала частотой ω 0 из квантованной последовательности

ω к =2π/T≥2ω 0 (4), где ω к – частота квантования.

Выражение (3) характеризует эффект переноса частот, проявляющийся в том, что высокочастотная помеха не влияющая на непрерывную систему (фильтруемая ее инерциальными свойствами) действует на дискретную систему в области низких частот.

Нежелательные влияния эффекта переноса частот компенсируется введением доп. фильтров.

постановка (5) в (2) дает формулу прямого z -преобразования:

Существует два подхода к синтезу дискретных регуляторов, на основе дискретных или непрерывных моделей. Дискретная модель получается при рассмотрении процесса в тактовые моменты времени.

Читайте также:  Схема усилителя для колонок с регулятором громкости

1 подход: В качестве примера рассмотрим экстраполятор нулевого порядка (АЦП), запоминающих значение поступающего сигнала в течение тактового периода T .

Экстраполятор имеет следующую передаточную функцию:

Задача синтеза регулятора решается рассмотрением дискретной модели, описываемой z передаточной функцией:

При необходимости из z – передаточной функции можно получить разностные уравнения:

Матрицы А и В определяются на основе соответствующих матриц непрерывных уравнений состояния. Это отдельная непростая задача.

Использование дискретной модели дает точное представление о движении объекта в тактовые моменты и не содержит информации о движении системы матричного уравнения тактовыми точками, что приводит к нежелательным явлениям («скрытые раскачивания»).

2 способ: Альтернативный подход основан на решении задачи синтеза в рамках непрерывной модели с последующей реализацией цифровыми методами. При этом изменения, внесенные в схему метода Рами, представляют в виде дополнительного запаздывания равного ½ периода квантования (это называется аналитически),

В этом случае синтез регуляторов выполняют для так называемого модифицированного объекта, который отличается от исходного наличием запаздывающего звена: (11) ,

при этом частота квантования должна быть существенно больше диапазона рабочих частот САУ.

Источник



Синтез линейных систем регулирования

date image2015-04-20
views image800

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Задача синтеза сводится к следующему:

Нужно спроектировать систему автоматического управления для заданного объекта так, чтобы система в целом обеспечивала выполнение заданных качественных показателей. При этом предполагается, что основные элементы САУ применяемые для автоматизации промышленного объекта заданы. Необходимо так подобрать дополнительные (корректирующие устройства) чтобы замкнутая САУ в переходных и установившихся режимах удовлетворяла заданным техническим условиям. Такими условиями являются качественные показатели: допустимое время регулирования, точность поддержание регулируемой величины и др.

Наиболее доступным способом синтеза САУ в современной практике следует считать способ, основанный на рассмотрении логарифмически амплитудно-частотных и фазочастотных характеристиках.

Такие характеристики строятся достаточно просто и широко используются при инженерных расчетах.

Построение желаемой скорректированной ЛАЧХ производиться в следующем порядке:

А. Низкочастотная часть:

Наклон желаемой ЛАЧХ в низкочастотной части определяется степенью астатизма «Y», т.е. числом интегрирующих звеньев. Низкочастотная асимптота Lск(ω) проводиться под наклоном -Y20 дб/дек через точку ω = 1, Lск(I) = 20lg k

Где К – коэффициент усиления всей системы.

При Y = 0 низкочастотный участок горизонтален и проводится на уровне 20lg k.

При Y = 1 наклон низкочастотной части равен -20 дб/дек, а при Y = 2 наклон равен -40 дб/дек.

При проведении низкочастотной части желаемой характеристики целесообразно сохранить наклон, определяемый астатизмом и проверить значение коэффициента усиления всей системы, исходя из требований поддержания точности регулируемого параметра.

Б. Среднечастотная часть:

Область средних частот лежит в интервале частот (ω2 ωср ) и (ωср ω3). Эта область характеризует устойчивость, быстродействие и форму переходного процесса. Условия, определяющие эту область:

При частоте среза, равной ωср, т.е. когда 20lg|W(p)( ωср )| = 0. наклон желаемой ЛАЧХ целесообразно выбрать (-20 дб/дек), что обеспечивает как правило необходимый запас по фазе.

где tр – заданное время переходного процесса;

Интервалы частот (ω2 ωср ) и (ωср ω3) должны быть выбраны в пределах 0,2 – 0,9 декады. Чем больше величина этих интервалов, тем сильнее демпфирована система, тем больше запас по фазе.

Сопряжение низкочастотного участка со среднечастотным следует производить прямой с наклоном (-40, ­-60 дб/дек).

В. Высокочастотная часть:

Характеристики при частотах (ω > ω3) должны проводиться по возможности с наклоном, равным наклону характеристики исходной системы (-40, ­-60 дб/дек).

Источник

Методы синтеза регуляторов

Помню здесь многие хотели увидеть публикации на тему теории управления и ПИД регуляторов. Я попытаюсь не ограничиваться ПИД и показать как работать с произвольными регуляторами. Для начала на простом примере перевернутого маятника. Предлагаю использовать это для коптеров, сам я до этого не скоро доберусь.

Получилось как-то очень кратко, могу позже уточнить в неясных местах.

Динамические системы и модели

Нам понадобится как-то описывать системы которые будут подвергнуты управлению, обычно это может быть сделано с помощью дифференциальных уравнений (по крайней мере для механичейкой системы, да и для аэродинамики тоже). Для задач ТУ эти уравнения надо переписать в форму модели в пространстве состояний, это более удобный и простой способ описания системы с множеством входов и выходов, в отличии от передаточных функций. Каждый элемент пространства состояний соответствует некоторому состоянию системы. Для примера такая механическая система как ротор двигателя имеет угловое положение и скорость которые и составляют состояние системы. Уравнения для двигателя задают действующий момент сил и это приводит к ОДУ второго порядка.

Простой заменой переменных и введением новых оно может быть преобразовано к системе уравнений первого порядка.

Это уже уравния в пространстве состояний. Следующее, что мы сделаем, запишем уравнений в такой матричной форме.

Где,
x — состояние системы
u — управление или вход
z — выход системы

Будем считать, что момент это и есть управление, а выражение для выхода оставим пока в покое, тогда.

Читайте также:  Схема регулятора управления электродвигателем

Этот простой пример уже имеет постоянные и независящие от времени матрицы. На деле обычно надо производить лиеаризацию в той точке в которой планируется стабилизировать систему. Это делается в основном из-за того, что для линейных систем задачи синтеза и анализа упрощаются и есть много хороших методов. Последствие линеаризации в том, что если мы сделали регулятор для линеаризованной системы, то теория гарантирует стабильность реальной системы только в некоторой окрестности точки линеаризации. Но не будем уходить слишком глубоко, на самом деле если предполагается использование цифровых регуляторов (АЦП -> МК -> ЦАП) то надо использовать модель с дискретным временем.

Переход от модели с постоянным временем к модели с дискретным временем это не то, что можно здесь так просто объяснить. Более того, можно сразу получить дискретную модель. Как это сделать наверно отдельный вопрос. У меня есть некоторые мысли применительно к коптерам о том как не сильно напрягаясь получить модель, хотя бы линейную. Но об этом наверно в другой раз.

Устойчивость

Условие устойчивости дискретной системы состоит в том, что отображение производимое матрицей А должно быть сжимающим. То есть все расстояния в пространстве состояний с каждым шагом системы становятся меньше. Это обеспечивается если собственные значения А по абсолютной величине не превосходят единицы. Это же условие можно выразить как отрицательность приращения функции Ляпунова.

В котором H это положительно определенная матрица, и А переходная матрица дискретной системы.

Покажем как это можно использовать.

Scilab

Для численных и особенно матричных вычислений хорошо подходит scilab. Это язык, интерпретатор, и много готовых функций. У него есть аналоги, scilab выбран только потому что в нем уже есть решатель ЛМН. В остальных случаях я использую octave.

Он полезен даже как замена калькулятору или рисовалка графиков.

Синтез регулятора

Будем использовать систему из [2] перевернутого маятника с подвижным основанием как пример неустойчивой системы. Переход к дискретной модели будет сделан численно с помощью scilab, поэтому будем полагать, что уже имеем линейную дискретную модель системы. Для упрощения будем синтезировать регулятор по состоянию (надо заметить, что иначе статический регулятор и не сможет стабилизировать эту систему).

То есть на вход регулятор получает все состояние системы, положение основания, угол отклонения маятника, скорость основания, скорость изменения угла. Выход регулятора и вход системы это сила приложенная к основанию.

Подставляя регулятор в уравнение дискретной системы находим.

То есть, переходная матрица замкнутой системы A + BF. Используем условие устойчивости для нее.

Здесь надо заметить, что это не единственный возможный способ. Можно использовать любые методы оптимизации, например `лобовой` способ это генетический алгоритм который свободен от сложностей приведения неравенств к решабельному виду. Это ещё одна отдельная тема.

(стал я сомневаться, что это ещё кому-то интересно и до этой строки кто-то доберется :))

и домножаем на X справа и слева.

Используем дополнение Шура.

(Ошибка, условие надо инвертировать, извините но картинку перерисовыввать не буду)

Коэффициенты регулятора выражаются так.

С эти можно идти в scilab и пытаться решать неравенство относительно X и Y.

Моделирование

Надо перестроить матрицы для замкнутой системы и вытащить новое управление.

(Ошибка, в столбце должно быть -1 а не 1)

Теперь подаем на вход `ступеньку` (переключаем с 0 на 1 (или любое другое значение отличное от нуля) и удерживаем). И смотрим что получается на выходе. Это преходный процесс по пложению платформы.

Как это делается в scilab можно увидеть в коде примера.

Ссылки
Видео

Стрелка внизу указывает целевое положение платформы в которое регулятор стабилизирует систему. Верхняя полоска показывает силу приложенную к платформе. На самом деле здесь использован другой (динамический, по выходу системы) регулятор, и есть еще некоторые особенности. Делал не специально для этого поста. Но все же визуально разницы не заметить.

  • ТУ,
  • управление,
  • easymath
  • +5
  • 19 марта 2012, 18:25
  • amaora
  • 1

Комментарии ( 25 )

Спасибо за статью.

Но, для моего уровня, такое резкое погружении в данную область это слишком круто. Ничего, попробую разобраться.

Для начала, просьба: добавьте к формулам список обозначений. Типа
A – матрица системы
B – матрица управления
C – матрица выхода
и т. д.

Вспомнились пары по ТАУ. Жаль что в то время совершенно не осознавал ничего(( лишь бы сдать экз с зачетом, ща бы совершенно по другому все воспринималось. Да и курс преподавался как то без привязки к реальности — все уравнения да уравнения — имхо самая большая ошибка преподавания. Пару раз упомянули про связь с RC-цепью, но тогда курс электроники тока начался, поэтому ТАУ все равно больше математикой казалась, чем методами управления реальными вещами.

По теме: а почему в управляющее воздействие получилось с «просадкой» вначале? Не логично же совсем, такая неустойчивая система и еще теряет драгоценное время.

Источник

Adblock
detector