Меню

Синтез регулятора методом компенсации

Разработка автоматизированной системы управления многоступенчатых регенеративных прогревателей

Главная > Курсовая работа >Информатика

4 СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА СКОРОСТИ В СИСТЕМЕ «МАШИНА ПОСТОЯННОГО ТОКА – ВЕНТЕЛЬНЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ»

Цель синтеза – построение системы управления ТО, выходные управляемые координаты которого ковариантные с заданием и инвариантные к возмущающему, обеспечивающий устойчивость и робастность системы в целом.

Система управления обеспечивает ковариантность управляемой величины с заданием. Система регулирования обеспечивает инвариантность к возмущению, поэтому основная задача синтеза оптимальных алгоритмов управления – построение ММ системы управления, обеспечивающей воспроизведение заданного воздействия, а регулирование – подавление возмущающего с учетом случайного неконтролируемого их характера и неточности задания ММ объекта или возможного случайного ее изменения.

Для решения задачи синтеза находят применение методы классического вариационного счисления, динамического программирования, принцип Максина – Панкрягина.

Для синтеза регуляторов в ТАУ и ее приложениях разработаны методы:

синтез систем автоматического регулирования по АЧХ;

метод динамической компенсации;

метод уравнений синтеза;

аналитическое конструирование регуляторов;

метод расширенных АЧХ;

метод последовательной коррекции с подчиненным регулированием координат.

В постановках задач синтеза САУ задается множество систем, на котором проводится выбор системы или некоторого подмножества систем, удовлетворяющих заданным показателям качества. Требования поведения систем задается как множество эталонных систем, поведение которых отвечает заданному поведению САУ в установившемся и переходном режиме. Описание подмножества строится на поведенческом языке, определяющего качественно и количественно свойства САУ: устойчивость, ковариантность, точность, инвариантность, робастность, быстродействие.

Синтез САУ обеспечивает 2 задачи:

формирование множества эталонных систем с заданными свойствами;

выбор САУ и расчет параметров соответствующей эталонной системы.

Средствами решения задач синтеза является:

выбор топологии причинно-следственных связей САУ;

выбор структур операторов элементов (алгоритмов управляющих или регулирующих устройств);

расчет значений параметров САУ (значение параметров управляющих или корректирующих устройств).

4.1 Синтез САУ методом динамической компенсации

Синтез регулятора предполагает компенсацию динамики объекта. Основным содержанием принципа динамической компенсации является возможность не учитывать динамику объекта при синтезе регулятора. Формальное выражение для компенсатора дает точное решение задач синтеза регулятора. Но в инженерных расчетах это выражение не верно и сводится к той или иной форме аппроксимации.

ПФ объекта управления:

Структура замкнутой САУ с последовательным включением с ОУ в прямой цепи контура управления компенсирующего регулятора:

Требуемы показатели качества:

Перерегулирование, %


Время регулирования, с

Эталонный оператор системы, который обеспечивает заданные показатели качества;

Структурный и параметрический синтез компенсирующего регулятора.

Определение структуры и параметров регулятора.

При определении следует соблюсти соотношение:

Для обеспечения астатизма первого порядка ( ) приравняем:

Структурный и параметрический синтез.

Запишем ПФ компенсатора в следующем виде:

Моделирование синтезированной САУ.

Запишем ПФ ОУ в виде:

Составим дифференциальные уравнения по схеме, изображенной на рисунке 8:

По данным ДУ составим структурную схему ММ в пространстве состояний в нормальной форме:

Составленная по данной структурной схеме ММ выглядит следующим образом:

Моделирование синтезированной системы дает положительный результат, то есть необходимы показатели качества достигнуты. По данной ММ построены временные и частотные характеристики, оценены показатели качества в приложении 1.

4.2 Синтез САУ методом последовательной коррекции с подчиненным регулированием координат

Основу метода последовательной коррекции с подчинённым регулированием координат составляют два принципа.

Первый принцип – принцип подчинённого каскадного включения регуляторов отдельных координат состояния заключается в выборе замкнутых внутренних контуров регулирования, подчинённых общей задаче регулирования управляемой координаты. При этом выбор замкнутых внутренних контуров производится из условия формирования такой передаточной функции объекта управления в каждом контуре, при которой синтез последовательно включенных регуляторов контуров возможен в классе типовых линейных законов управления ограниченной сложности.

Второй принцип – принцип последовательной компенсации средних и больших постоянных времени контуров регулирования основан на последовательной замене исходного разомкнутого контура регулирования последовательностью результирующих контуров с желаемыми передаточными функциями. Выбор разомкнутых контуров в виде последовательного соединения интегрирующего и апериодического звена с малой некомпенсируемой постоянной времени обеспечивает высокую точность (астатическое регулирование) и высокое быстродействие системы.

В качестве внутренних регулируемых координат состояния при управлении в ВЭМС выбирают токи, напряжения и частоту питания и на выходе НПЭ, потокосцепления ЭМП, угловую скорость и момент на валу ЭМП, положение вала приводного механизма и др., что позволяет вводить независимые ограничения на эти координаты.

Для начала необходимо упростить структурную схему системы «Вентильный преобразователь – машина постоянного тока», показанную на рисунке 10. Для этого пренебрегаем обратной связью в цепи с МПТ.

Для первого контура входным является напряжение на входе в ВП , а выходным – ток цепи якоря . Постоянная времени ВП является некомпенсируемой, так как она намного меньше остальных постоянных времени. Структурная схема будет выглядеть так:

Желаемая ПФ данного контура с обеспечением заданных показателей качества будет следующей:

Здесь а 1 – параметр, влияющий на перерегулирование. Для обеспечения этот параметр принимает значение 2.

Для нахождения ПФ первого регулятора произведем следующие действия:

Данный регулятор – ПИ-регулятор.

ПФ замкнутого контура представляет собой колебательное звено и может быть аппроксимировано следующим образом:

Для второго контура структурная схема выглядит так:

Желаемая ПФ второго разомкнутого контура (а 2 =2):

Тогда ПФ второго регулятора:

Здесь присутствует только пропорциональная часть:

Следовательно, второй регулятор – П-регулятор.

Анализ синтезированной системы будем проводить по следующей структурной схеме, то есть с вновь введенной обратной связью:

— выход с первого регулятора;

— напряжение на выходе вентильного преобразователя;

Для составления ММ в пространстве состояний необходимо схему на рисунке 13 представить во временной области.

Уравнение ММ в пространстве состояний запишем по рисунку 14:

По данной ММ построены временные и частотные характеристики, оценены показатели качества в приложении 2.

4.3 Модальное управление

Модальное управление – это управление посредством динамической обратной связи с матрицей коэффициентов модами (собственными числами, корнями характеристического полинома) для достижения желаемых целей.

Необходимо обеспечить следующий желаемый спектр:

где , для обеспечения заданных показателей качества. Тогда:

Исходная система имеет вид:

Произведем следующую последовательность действий:

1. Трансформация исходной системы к канонически управляемому базису с вычислением матрицы перехода.

Матрица управляемости исходной системы (она была определена выше при определении устойчивости системы).

Как было определено ранее, система управляема.

Определяем характеристические полиномы и .

Спектр исходной системы:

Коэффициенты характеристического полинома:

Для желаемого спектра

Коэффициенты характеристического полинома:

Составляем сопровождающую матрицу полинома.

Вычисляем матрицу управляемости преобразованной системы.

Определяем матрицу перехода.

2. Расчёт параметров модального регулятора преобразованной системы.

Переход к исходному базису и расчёт коэффициентов модального регулятора.

4. Определение спектра синтезированной системы.

В исходном базисе:

В каноническом базисе:

Коэффициенты характеристических полиномов синтезированной системы в исходном и в канонически управляемом базисе совпадают, что свидетельствует о правильности приведенных преобразований.

Читайте также:  Регулятор частоты вращения двигателя нужен

В Приложении 3 построены временные и частотные характеристики синтезированной системы.

4.4 Метод синтеза с использованием оптимизационных процедур

Здесь используется приближенное равенство реального выходного сигнала эталонному. В основе реализации этого принципа лежит аппарат нелинейного программирования. Основное содержание состоит в следующем:

Необходимо определить оператор компенсатора:

Задаются эталонные воздействия и реакция на это воздействие .

Проблема синтеза состоим в выборе таких значений параметров , которые обеспечивают близость в известном смысле выходного сигнала реальной системы и эталона .

Положим, что мерой близости выбрана метрика пространства

Отклонения необходимо свести к минимуму.

Если же воспользоваться метрикой пространства то:

По каждым значениям идет оценка.

В функционалы x 1 и x 2 входит функция .

Для реализации принципа необходимо знать обратный оператор системы, явно зависящий от параметров регулятора. Это чрезвычайно сложная задача, решение которой возможно в исключительно простых случаях.

В результате проделанной работы, получены характеристики и параметры, позволяющие судить о параметрах синтезированной системы.

Можно сказать, что синтез проведен удачно. Об этом позволяют судить полученные при моделировании временные и частотные характеристики. Заданные показатели качества достигнуты, а именно:

— перерегулирование %;


— время регулирования с.;

— порядок астатизма 1.

Так же надо заметить, что чем меньше время регулировании, тем выше энергетические затраты на разгон двигателя. Очевидно, эта энергия не может быть бесконечной. При определенном значении входного напряжения и тока якорной обмотки может произойти аварийная ситуация. Поэтому при выборе времени регулирования необходимо учитывать и энергетическую сторону процесса.

Прошин И.А. Управление в вентильно-электромеханических системах. В 3-х кн. Кн. 2. Математическое моделирование вентильно-электромеханических систем. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. технолог. акад., 2004. – 307 с.

Прошин И.А. Управление в вентильно-электромеханических системах. В 3-х кн. Кн. 1. Непосредственные преобразователи электрической энергии. – Пенза: Изд-во Пенз. гос. технолог. акад., 2004. – 333 с.

Прошин И.А. Управление в вентильно-электромеханических системах. В 3-х кн. Кн. 3. Синтез управляемых вентильно-электромеханических систем. – Пенза: ПТИ, 2003. – 350с.

Математическое моделирование и обработка информации в исследованиях на ЭВМ./И.А. Прошин, Усманов В.В.; Под ред. И.А. Прошина. – Пенза: ПТИ, 2000. – 422с.

Теория систем автоматического управления/В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – Изд. 4-е, перераб. и доп. – СПб, Изд-во «Профессия», 2003. – 752 с.

Источник



Spacer type=block align=LE

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

ТЕМА 9. Синтез регуляторов нестационарных систем


Принцип динамической компенсации

Этот принцип основан на возможности не учитывать динамику объекта при синтезе регулятора. Он основан на использовании положений операторной алгебры.

В теории управления часто используется операторное соотношение:

А – оператор системы (или звена). Он определяет соответствие между входным и выходным сигналами системы управления.

Рисунок – Система управления

А Э – эталонный оператор замкнутой системы;

А КУ – оператор регулятора;

А 0 – оператор неизменяемой части системы (объекта управления).

Используем положения операторной алгебры, в соответствии с которыми имеют место следующие действия:

Сложение операторов, A+B = C .

Умножение операторов, A·B = C .

Умножение оператора на скаляр, A·K = B, K·A = B.

Кроме того, справедливы правила:

Операция сложения коммутативна, A+B = B+A.

Операции сложения и умножения ассоциативны, A+(B+C) = (A+B)+C и A·(B·C) = (A·B)·C.

Операция умножения не коммутативна A·B ≠ B·A.

Для представленной на рисунке системы справедливы зависимости:

Из формулы (2) имеем:

где — оператор разомкнутой системы.

Имеет место соотношение: и, следовательно, , отсюда находим:

то оператор замкнутой системы определяется формулой:

Умножим обе части равенства (7) на справа: , откуда следует

Поскольку оператор замкнутой системы должен равняться эталонному оператору, т.е. А=А Э , то окончательная формула, определяющая оператор регулятора записывается в виде:

где 1 – единичный оператор.

В формуле (9.9) А Э и А 0 известны, поэтому принципиально возможен расчет оператора А КУ . При этом определяются структура регулятора и численные значения его параметров.

Поскольку оператор разомкнутой системы определяется формулой:

то с учетом выражения (9.9) из (9.10) имеем:

Из зависимости (11) следует, что равенство оператора замкнутой системы эталонному оператору обеспечивается компенсацией влияния на А Э оператора объекта А 0 за счёт наличия обратного оператора А 0 -1 .

Например, если входной сигнал элемента x(t) подвергается искажению в результате прохождения через элемент с оператором А , то восстановление первоначальной формы x(t) этого сигнала может быть достигнуто с помощью динамической системы, каскадно соединенной с первой системой и имеющей оператор А -1 .

Рисунок– Динамическая система

Данный подход используется для полной нейтрализации влияния динамических характеристик объекта на оператор замкнутой системы.

Изложенный выше подход получил название принципа динамической компенсации.

Таким образом, основным содержанием принципа динамической компенсации является возможность не учитывать динамику объекта при синтезе регулятора.

Формально зависимость, определяющая A, дает точное решение задачи синтеза регулятора. В большинстве же случаев физически элемент с оператором A реализовать не удается. Это обусловлено тем, что математические модели объектов задаются приближенно и сколь-нибудь точная компенсация динамики объекта труднодостижима. При расчете мы вынуждены опираться лишь на соответствующие оценки. Любая же погрешность, несоответствие оценки и реальных значений могут привести к синтезу неработоспособной системы.

Важным является следующее положение: содержание большого числа инженерных методов синтеза регуляторов сводится к той или другой форме аппроксимации соотношения (9), но не его точной реализации.

Такая аппроксимация направлена на:

упрощение структуры регулятора;

возможность получения физически реализуемых элементов;

обеспечение устойчивости замкнутой системы;

повышение свойства грубости (робастности).

Вместе с тем необходимо отметить, что многие используемые рассмотренные ранее методы в неявной форме реализуют метод динамической компенсаций, например, используя понятие передаточной функции системы и ее элементов.

Видоизмененный принцип динамической компенсации использует методы эталонных ПФ непрерывных и дискретных систем по определению структуры регулятора (рассмотрено ранее), S→Z – дискретная система:

Применение принципа динамической компенсации при описании системы весовыми функциями.

Приведенная формула, определяющая ( ), представляет интерес с точки зрения выявления тех трудностей, которые необходимо преодолеть при решении задачи синтеза.

Для класса нестационарных систем решение задачи синтеза регуляторов определяет формула (9). Эта формула – общий результат, использующий понятие оператора системы.

Рассмотрим применение данного подхода в терминах ИПФ (импульсная переходная функция или то же самое, что весовая функция системы) и выявим соответствующие особенности.

Введя понятие оператора системы с переменными параметрами, сделаем постановку проблемы синтеза регулятора нестационарной системы, рассматривая в качестве примера конкретную задачу.

Рисунок — Нестационарная система

Читайте также:  Регулятор холостого хода галант 4g37

На вход системы поступает полезный нестационарный сигнал m(t ) и нестационарная помеха n(t) . Статические характеристики сигналов m(t) и n(t) известны: R mm (t 1 , t 2 ), R nn (t 1 , t 2 ) – корреляционные функции соответственно полезного сигнала m(t) и помехи n(t) (считаем, что m(t) и n(t) – не коррелированны).

В рассматриваемой задаче полагаем известными и уравнения, описывающие динамику нестационарного объекта. Задача заключается в нахождении структуры и параметров нестационарного корректирующего устройства такого, которое обеспечивало бы выполнение следующего условия:

M[(m(t) – y(t)) 2 ] →min (13)

Решая уравнение Винера-Хопфа, можно найти эталонный оператор замкнутой нестационарной системы.

Рассмотрим решение поставленной задачи с использованием аппарата импульсных переходных функций.

Импульсная переходная функция разомкнутой системы, включающей последовательное соединение регулятора и объекта управления, определяется зависимостью:

где – импульсная переходная функция регулятора;

– импульсная переходная функция объекта управления.

Предварительно отметим, что наряду с обратными операторами можно ввести в рассмотрение и обратные импульсные переходные функции:

Рисунок Обратная импульсная переходная функция

Из (14), умножая обе части на и интегрируя, найдем:

Соответствующая структурная схема имеет вид:

Рисунок — Система с обратной импульсной переходной функцией

В задаче синтеза в качестве эталонной задается ИПФ(импульсная переходная функция) замкнутой системы g(t, τ) ; она связана с ИПФ g Р (t,τ) очевидной зависимостью:

Соотношение (18) представляет собой интегральное уравнение, позволяющее найти ИПФ g(t, τ) разомкнутой системы управления. Алгоритм синтеза регулятора включает следующие этапы:

задание из соображений обеспечения заданного качества работы системы эталонной ИПФ замкнутой САУ (например, она может быть найдена путем решения уравнения Винера-Хопфа);

нахождение эталонной ИПФ разомкнутой системы путем решения интегрального уравнения (на основе (18)):

расчет ИПФ регулятора по формуле (из (17)):

С учетом сказанного структурная схема нестационарной системы с регулятором может быть представлена в виде (рисунок ):

Это один из случаев, в том числе и для стационарных систем, когда имеет место принцип динамической компенсации (в данном случае – нестационарная система).

Трудности реализации подхода, использующего аппарат ИПФ, состоят как в необходимости решения достаточно сложных интегральных уравнений, так и в отыскании и реализации обратных импульсных переходных функций.

При разработке конкретных систем автоматического управления с переменными параметрами аппарат ИПФ используется редко и в основном на этапе предварительного проектирования.

Рисунок– Схема стационарной системы с регулятором

Equation Chapter 1 Section 1Тема 10: Синтез регуляторов нелинейных систем


Реализация принципа динамической компенсации на основе рядов Вольтера


Задача синтеза регуляторов нелинейных систем значительно сложнее аналогичной задачи для линейных систем. Методологической основой решения этой задачи является описание систем функциональными рядами Вольтера. Их применение является обобщением интеграла свертки (интеграла Дюамеля), используемого для описания линейных систем.


Теория, в основе которой лежат ряды Вольтера, носит название аналитической теории нелинейных систем. Она опирается на строгий математический аппарат и применима для широкого круга задач.


Понятия передаточной (ПФ) и импульсной переходной функций (ИПФ), которые являются эффективным инструментом анализа и синтеза линейных систем, распространяются и на нелинейные системы. Этим обеспечивается методологическое единство методов расчета и проектирования систем в рамках аналитической теории.

Рассмотрим основные положения задачи синтеза регуляторов нелинейных систем. Структурная схема нелинейной САУ имеет вид:

Рисунок 10.1 – Нелинейная САУ

Положим, что элементы САУ описываются рядами Вольтера:

Где q ку — многомерные ИПФ нелинейной системы (ядра Вольтера).

ОУ описывается выражением:

Воспользуемся понятием многомерной ПФ:

n -мерная ПФ (5) связана с ИПФ соотношением:

W 1 КУ (S 1 ), W 2 КУ (S 1, S 2 ),….,W ν КУ (S 1 …Sν) – передаточная функция регулятора;

W 1 0 (S 1 ), W 2 0 (S 1, S 2 ),….,W ν 0 (S 1 …Sν) – передаточная функция ОУ;

W 1 Р (S 1 ), W 2 Р (S 1, S 2 ),….,W j P (S 1 …Sj) – передаточная функция разомкнутой системы;

W 1 (S 1 ), W 2 (S 1, S 2 ),….,W m (S 1 …Sm) — передаточная функция замкнутой системы.

Задача синтеза регулятора заключается в нахождении таких передаточных функций регулятора, чтобы замкнутая система обладала эталонными динамическими характеристиками. Таким образом, постановка рассматриваемой задачи полностью совпадает с задачей синтеза регулятора в классе линейных систем. Предполагается, что неизменяемая часть системы (объект управления) представляет собой соединение линейных инерционных и нелинейных безынерционных звеньев. При этом линейные элементы должны описываться минимально-фазовыми функциями, а нелинейные — аналитическими функциями, имеющими обратные функции для всех возможных входных воздействий. Такое предположение обусловлено положениями принципа динамической компенсации.

САУ можно представить в следующем виде:

Рисунок– Эталонная система

По аналогии с синтезом КУ линейной системы получены передаточные функции нелинейных систем.

Передаточная функция замкнутой системы:

Учитывая, что в задаче синтеза регулятора для ПФ замкнутой системы должны выполняться равенства:

При данных многомерных передаточных функциях ОУ и эталонной передаточной функции САУ в целом определяется передаточная функция КУ.

Полученные формулы и являются решением поставленной задачи.

Как и в случае линейных стационарных и нестационарных систем, в классе нелинейных систем имеет место компенсация динамических характеристик объекта за счет его обратных ПФ (принцип динамической компенсации).

Реализованная система не будет в точности совпадать с эталонной, так как при определении ПФ регулятора дважды производилось усечение ряда Вольтера.

Совершенно аналогично решается задача синтеза регулятора и в случае включения его в цепь обратной связи.

Метод порождающих функций в синтезе регуляторов нелинейных систем

Нелинейный элемент может быть включен в прямую цепь САУ , цепь главной ОС и цепь местной ОС.

На основе структурной схемы записываются дифференциальные уравнения САУ относительно старшей производной вида:

где , , — входное воздействие, — реакция системы, — нелинейная функция.

Будем полагать, что поведение замкнутой нелинейной системы с регулятором, имеющим варьируемые параметры , описывается уравнением:

Введем в рассмотрения так называемую порождающую функцию .

Умножим обе части уравнения (9) на и введем следующие обозначения:

(10) и (11) имеют смысл весовых функций. На основе (9),(10)и (11) получаем :

Левая и правая части уравнения равны и соответственно.

Формула для функционала, подлежащего минимизации, имеет вид

При решении конкретных задач весьма эффективные алгоритмы можно разработать, пользуясь оптимизационным принципом синтеза регуляторов, предполагающим достижение приближенного равенства правой и левой частей операторного уравнения, описывающего поведение замкнутой скорректированной системы с неизвестными параметрами. Такое равенство достигается за счет изменения параметров регулятора при подстановке в операторное уравнение эталонных входного и выходного сигналов.

1 — выбор структуры и места включения регулятора;

2 — выбор эталонного входного и выходного сигналов, выбор порождающих функций;

3 — нахождение дифференциального и эквивалентного ему интегрального уравнений замкнутой системы с регулятором;

4 — вычисление левой и правой части интегрального уравнения и , где ;

5 — построение функционала ;

Читайте также:  Реле регулятор для подвесного мотора

6 — поиск параметров регистра, обеспечивающих минимум

7 — построение выходного сигнала скорректированной системы и сравнение его с эталонным.

Источник

Методы синтеза регуляторов

Помню здесь многие хотели увидеть публикации на тему теории управления и ПИД регуляторов. Я попытаюсь не ограничиваться ПИД и показать как работать с произвольными регуляторами. Для начала на простом примере перевернутого маятника. Предлагаю использовать это для коптеров, сам я до этого не скоро доберусь.

Получилось как-то очень кратко, могу позже уточнить в неясных местах.

Динамические системы и модели

Нам понадобится как-то описывать системы которые будут подвергнуты управлению, обычно это может быть сделано с помощью дифференциальных уравнений (по крайней мере для механичейкой системы, да и для аэродинамики тоже). Для задач ТУ эти уравнения надо переписать в форму модели в пространстве состояний, это более удобный и простой способ описания системы с множеством входов и выходов, в отличии от передаточных функций. Каждый элемент пространства состояний соответствует некоторому состоянию системы. Для примера такая механическая система как ротор двигателя имеет угловое положение и скорость которые и составляют состояние системы. Уравнения для двигателя задают действующий момент сил и это приводит к ОДУ второго порядка.

Простой заменой переменных и введением новых оно может быть преобразовано к системе уравнений первого порядка.

Это уже уравния в пространстве состояний. Следующее, что мы сделаем, запишем уравнений в такой матричной форме.

Где,
x — состояние системы
u — управление или вход
z — выход системы

Будем считать, что момент это и есть управление, а выражение для выхода оставим пока в покое, тогда.

Этот простой пример уже имеет постоянные и независящие от времени матрицы. На деле обычно надо производить лиеаризацию в той точке в которой планируется стабилизировать систему. Это делается в основном из-за того, что для линейных систем задачи синтеза и анализа упрощаются и есть много хороших методов. Последствие линеаризации в том, что если мы сделали регулятор для линеаризованной системы, то теория гарантирует стабильность реальной системы только в некоторой окрестности точки линеаризации. Но не будем уходить слишком глубоко, на самом деле если предполагается использование цифровых регуляторов (АЦП -> МК -> ЦАП) то надо использовать модель с дискретным временем.

Переход от модели с постоянным временем к модели с дискретным временем это не то, что можно здесь так просто объяснить. Более того, можно сразу получить дискретную модель. Как это сделать наверно отдельный вопрос. У меня есть некоторые мысли применительно к коптерам о том как не сильно напрягаясь получить модель, хотя бы линейную. Но об этом наверно в другой раз.

Устойчивость

Условие устойчивости дискретной системы состоит в том, что отображение производимое матрицей А должно быть сжимающим. То есть все расстояния в пространстве состояний с каждым шагом системы становятся меньше. Это обеспечивается если собственные значения А по абсолютной величине не превосходят единицы. Это же условие можно выразить как отрицательность приращения функции Ляпунова.

В котором H это положительно определенная матрица, и А переходная матрица дискретной системы.

Покажем как это можно использовать.

Scilab

Для численных и особенно матричных вычислений хорошо подходит scilab. Это язык, интерпретатор, и много готовых функций. У него есть аналоги, scilab выбран только потому что в нем уже есть решатель ЛМН. В остальных случаях я использую octave.

Он полезен даже как замена калькулятору или рисовалка графиков.

Синтез регулятора

Будем использовать систему из [2] перевернутого маятника с подвижным основанием как пример неустойчивой системы. Переход к дискретной модели будет сделан численно с помощью scilab, поэтому будем полагать, что уже имеем линейную дискретную модель системы. Для упрощения будем синтезировать регулятор по состоянию (надо заметить, что иначе статический регулятор и не сможет стабилизировать эту систему).

То есть на вход регулятор получает все состояние системы, положение основания, угол отклонения маятника, скорость основания, скорость изменения угла. Выход регулятора и вход системы это сила приложенная к основанию.

Подставляя регулятор в уравнение дискретной системы находим.

То есть, переходная матрица замкнутой системы A + BF. Используем условие устойчивости для нее.

Здесь надо заметить, что это не единственный возможный способ. Можно использовать любые методы оптимизации, например `лобовой` способ это генетический алгоритм который свободен от сложностей приведения неравенств к решабельному виду. Это ещё одна отдельная тема.

(стал я сомневаться, что это ещё кому-то интересно и до этой строки кто-то доберется :))

и домножаем на X справа и слева.

Используем дополнение Шура.

(Ошибка, условие надо инвертировать, извините но картинку перерисовыввать не буду)

Коэффициенты регулятора выражаются так.

С эти можно идти в scilab и пытаться решать неравенство относительно X и Y.

Моделирование

Надо перестроить матрицы для замкнутой системы и вытащить новое управление.

(Ошибка, в столбце должно быть -1 а не 1)

Теперь подаем на вход `ступеньку` (переключаем с 0 на 1 (или любое другое значение отличное от нуля) и удерживаем). И смотрим что получается на выходе. Это преходный процесс по пложению платформы.

Как это делается в scilab можно увидеть в коде примера.

Ссылки
Видео

Стрелка внизу указывает целевое положение платформы в которое регулятор стабилизирует систему. Верхняя полоска показывает силу приложенную к платформе. На самом деле здесь использован другой (динамический, по выходу системы) регулятор, и есть еще некоторые особенности. Делал не специально для этого поста. Но все же визуально разницы не заметить.

  • ТУ,
  • управление,
  • easymath
  • +5
  • 19 марта 2012, 18:25
  • amaora
  • 1

Комментарии ( 25 )

Спасибо за статью.

Но, для моего уровня, такое резкое погружении в данную область это слишком круто. Ничего, попробую разобраться.

Для начала, просьба: добавьте к формулам список обозначений. Типа
A – матрица системы
B – матрица управления
C – матрица выхода
и т. д.

Вспомнились пары по ТАУ. Жаль что в то время совершенно не осознавал ничего(( лишь бы сдать экз с зачетом, ща бы совершенно по другому все воспринималось. Да и курс преподавался как то без привязки к реальности — все уравнения да уравнения — имхо самая большая ошибка преподавания. Пару раз упомянули про связь с RC-цепью, но тогда курс электроники тока начался, поэтому ТАУ все равно больше математикой казалась, чем методами управления реальными вещами.

По теме: а почему в управляющее воздействие получилось с «просадкой» вначале? Не логично же совсем, такая неустойчивая система и еще теряет драгоценное время.

Источник

Adblock
detector