Определить действующее значение синусоидального напряжения если максимальное значение 100

ДЕЙСТВУЮЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

При расчетах электрических цепей кроме мгновенного, амплитудного и среднего значений синусоидальной величины очень часто используется действующее значение, которое в дальнейшем будем обозначать заглавными буквами без индексов, т.е. I, U, E. Отметим, что большинство приборов, используемых для измерений в цепях переменного тока ( амперметры, вольтметры, ваттметры и т.д.) проградуированы в действующих значениях.

Действующим значением синусоидального тока называют такое значение постоянного тока, при котором за одинаковый промежуток времени в резистивном элементе выделяется такое же количество теплоты, как и при переменном токе.

Из определения следует

где R- активное сопротивление элемента цепи, I- величина постоянного тока, равная действующему значению.

Так как

то I = dt = . (5-18)

Понизим степень при функции синуса, т.е.

sin 2 wt = ½(1-cos2wt).

I = — 1/2 ).

Т.к. интеграл (1/2 )) любой синусоидальной функции, взятый в пределах целого числа периодов равен нулю, то

I = = =I m/ = 0,707I m. (5-19)

Аналогично можно записать

U = U m/ = 0,707U m; (5-20)

E = E m/ = 0,707E m. (5-21)

Таким образом, действующее значение синусоидальной величины в раз меньше ее амплитудного значения.

1. Что такое мгновенное значение переменного электрического тока?

2. Что такое фаза переменного тока?

3. Определить среднее значение переменного тока I = 60 sin wt.

4. Какова связь между периодом и частотой?

5. Что такое сдвиг фаз?

6. Найти период, если угловая частота равна 157рад/c.

7. Мгновенное значение тока в цепи Найти его среднее значение за половину периода.

8. Найти частоту переменного тока, имеющего период 0,04с.

9. Определить амплитудное и действующее значения синусоидального напряжения, если его среднее значение U ср=198В.

10. Написать выражение для мгновенного значения синусоидального тока, комплексная амплитуда которого I m = 10 e — j 30 .

11. Конденсатор емкостью С подключен к источнику переменного тока. Как изменится ток, если : а) подключить параллельно ему конденсатор той же емкости; б) включить последовательно с ним конденсатор той же емкости?

12. Записать выражение для комплексной амплитуды тока i 1= 15 sin wt+p/2)A.

13. Определить ток равный сумме токов i 1= (3+j 4) и i 2= (2+j). Суммарный ток представить в показательной форме записи.

14. Мгновенное значение тока в цепи i=100 sin(wt+p/2 )А. Найти его среднее значение за: а) половину периода, б) период времени.

15. Мгновенные значения двух переменных токов заданы уравнениями: i 1= 50 sin(wt+0 0 ) A и i 2 = 50 sin(wt+90 0 ) A. Найти аналитически выражение для суммарного тока.

16. Последовательно с лампой накаливания включен конденсатор переменной емкости. Как изменится накал лампы, если: а) не меняя входное напряжение увеличить емкость конденсатора; б) не меняя емкость конденсатора и входное напряжение увеличить частоту входного сигнала

Источник

Среднее и действующее значения синусоидально изменяющейся величины

Среднее значение

Под средним значением синусоидально изменяющейся величины понимают ее среднее значение за полпериода.

Среднее значение тока:

т. е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/π = 0,638 от амплитудного. Аналогично, Eср = 2Ем/π ; Ucp = 2Uм/π.

Действующее значение

Широко применяют понятие действующего значения синусоидально изменяющейся величины (его называют также эффективным или среднеквадратичным).

Действующее значение тока:

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично

Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению.

Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным током,

Выделенная за то же время постоянным током теплота равна RI 2_пост Т. Приравняем их:

Таким образом, действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за время, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество теплоты, что и синусоидальный ток.

Большинство измерительных приборов показывает действующее значение измеряемой величины.

Источник

Решение типовых задач. Синусоидальные токи, напряжения

Синусоидальные токи, напряжения. Параметры идеальных элементов электрических цепей синусоидального тока

Общие сведения

Электромагнитный процесс в электрической цепи считается периодическим, если мгновенные значения напряжений и токов повторяются через равные промежутки времени Т. Время Т называется периодом. Напряжения u(t) = u(t+T) и токи i(t)=i(t+T) ветвей электрической цепи являются периодическими функциями времени.

Величина, обратная периоду (число периодов в единицу времени), называется частотой: f = 1/T. Частота имеет размерность 1/c, а единицей измерения частоты служит Герц (Гц).

Широкое применение в электротехнике нашли синусоидальные напряжения и токи:

В этих выражениях:

– u(t), i(t) – мгновенные значения,

– U_m, I_m – максимальные или амплитудные значения,

– ω = 2π/T = 2πf – угловая частота (скорость изменения аргумента),

– ψ_u, ψ_i – начальные фазы,

– ωt + ψ_u, ωt + ψ_i – фазы, соответственно напряжения и тока.

Графики изменения u(t), i(t) удобно представлять не в функции времени t, а в функции угловой величины ωt , пропорциональной t (рис. 1.1).

Величина φ = (ωt + ψ_u) – (ωt + ψ_i) = ψ_u, — ψ_i называется углом сдвига фаз. На рис. 1.1 ψ_u > 0, ψ_i > 0, φ = ψ_u — ψ_i > 0, т.е. напряжение опережает ток. Аналогично можно ввести понятие углов сдвига фаз между двумя напряжениями или токами.

Количество тепла, рассеиваемого на сопротивление R при протекании по нему тока, электромагнитная сила взаимодействия двух проводников с равными токами, пропорциональны квадрату тока. Поэтому о величине тока судят по действующему значению за период. Действующее значение периодического тока i(t) определяется по выражению

Для квадратов левой и правой частей этого равенства, после умножения их на RT, будем иметь:

Из этого равенства следует, что действующее значение периодического тока равно по величине такому постоянному току I, который на неизменном сопротивлении R за время T выделяет тоже количество тепла, что и ток i(t).

При синусоидальном токе i(t) = I_m sin ωt интеграл

Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно

Действующее значение синусоидальных напряжений u(t), э.д.с. e(t) определяются аналогично:

Для измерения действующих значений используются приборы электромагнитной, электродинамической, тепловой и др. систем.

Среднее значение синусоидального тока определяется как среднее за половину периода. Поэтому,

Средние значения синусоидальных напряжений u(t), э.д.с. e(t) определяются аналогично:

Отношение амплитудного значения к действующему называется коэффициентом амплитуды k_a, а отношение действующего значения к среднему – коэффициентом формы k_ф. Для синусоидальных величин, например, тока i(t), эти коэффициенты равны:

Для синусоидальных токов i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i) уравнения идеальных элементов R, L, C при принятых на рис. 1.2. положительных направлениях имеют вид

На активном сопротивлении R мгновенные значения напряжения и тока совпадают по фазе. Угол сдвига фаз φ = 0.

На индуктивности L мгновенное значение тока отстает от мгновенного значения напряжения на угол . Угол сдвига фаз .

На емкости C мгновенное значение напряжения отстает от мгновенного значения тока на угол . Угол сдвига фаз .

Величины ωL и 1/ωC имеют размерность [Ом] и называются реактивным сопротивлением индуктивности или индуктивным сопротивлением X_L:

и реактивным сопротивлением емкости или емкостным сопротивлением X_С:

Величины 1/ωL и ωC имеют размерность [Ом -1 ] и называются реактивной проводимостью индуктивности или индуктивной проводимостью B_L:

и реактивной проводимостью емкости или емкостной проводимостью B_С:

Связь между действующими значениями напряжения и тока на идеальных элементах R, L, C устанавливают уравнения:

Для синусоидального напряжения u = U_m sin ωt начальная фаза тока на входе пассивного двухполюсника (рис. 1.3.) равна

ψ_i = – φ, поэтому i = I_m sin(ωt – φ)

Проекция напряжения на линию тока

называется активной составляющей напряжения.

Проекция напряжения на линию, перпендикулярную току,

называется реактивной составляющей напряжения.

Проекция тока на линию напряжения

называется активной составляющей тока.

Проекция тока на линию, перпендикулярную напряжению,

называется реактивной составляющей тока.

Имеют место очевидные соотношения:

В цепи синусоидального тока для пассивного двухполюсника по определению вводятся следующие величины:

1. Полное сопротивление Z:

2. Эквивалентные активное R_эк и реактивное X_эк сопротивления:

3. Полная проводимость Y:

4. Эквивалентные активная G_эк и реактивная B_эк проводимости:

Из треугольников сопротивлений и проводимостей (рис. 1.4) следует:

Эквивалентные параметры являются измеряемыми величинами, поэтому могут быть определены из физического эксперимента (рис. 1.5).

Электрическая цепь по схеме рис. 1.5 должна содержать амперметр А и вольтметр U для измерения действующих значений напряжения и тока, фазометр φ для измерения угла сдвига фаз между мгновенными значениями напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника П.

Угол сдвига фаз пассивного двухполюсника .

Физическая величина, численно равная среднему значению от произведения мгновенных значений напряжения u(t) и тока i(t), называется активной мощностью Р.По определению имеем:

называются полной мощностью S и реактивной мощностью Q в цепи синусоидального тока. Имеет место равенство

Коэффициент мощности k_м в цепи синусоидального тока определяется выражением:

Единицей измерения активной мощности является Ватт [Вт]. Для измерения активной мощности служит ваттметр. Ваттметр включается по схеме рис. 1.6.

Единица измерения полной мощности [ВА], реактивной – [ВАр].

Для вычисления мощностей удобно использовать следующие выражения:

Решение типовых задач

Для измерения мгновенных значений напряжений u(t) и токов i(t) служит осциллограф. Поскольку сопротивление входа этого прибора очень большое, непосредственно для измерения тока осциллограф использовать нельзя. Измеряют не ток, а пропорциональное току напряжение на шунте R_ш (рис. 1.7, а).

Задача 1.1

К источнику синусоидального напряжения частотой f = 50 Гц подключена катушка индуктивности (рис. 1.7, а). Активное сопротивление провода, из которого изготовлена катушка, R = 10 Ом, индуктивность L = 1,6 мГн. Осциллограмма напряжения u_ш(t) представлена на рис. 1.7, б. Сопротивление шунта R_ш = 0,1 Ом. Масштаб по вертикальной оси осциллограммы m_u = 0,02 В/дел (0,02 вольта на деление).

Рассчитать действующие значения напряжения u_RL, составляющих u_R и u_L этого напряжения. Построить графики мгновенных значений напряжений u_RL, составляющих u_R и u_L.

Решение.

По осциллограмме рис. 1.7, б двойная амплитуда напряжения на шунте 2А = 10 дел. Находим амплитудное значение I_m тока i:

Реактивное сопротивление Х индуктивности L на частоте

Амплитудные значения напряжений u_R и u_L:

Мгновенные значения составляющих напряжения на сопротивление R катушки индуктивности и индуктивности L соответственно равны (ψ_i = 0):

Мгновенное значение напряжения на активном сопротивлении в фазе с током, на индуктивности – опережает на угол .

Действующие значения напряжений:

Векторные диаграммы напряжений и тока приведены на рис. 1.8.

Зависимости u_R(ωt); u_L(ωt); u_RL(ωt) представлены на рис. 1.9.

Задача 1.2

К цепи со схемой рис.1.10 приложено синусоидальное напряжение u = 141 sin 314t B.

Найти мгновенные и действующие значения тока и напряжения на всех участках цепи, если R = 30 Ом,

С = 79,62 мкФ.

Решение.

Назначаем положительные направления тока и напряжений как на рис. 1.10. Определяем реактивное сопротивление Х_С емкости C на частоте ω = 314с -1 :

Полное сопротивление цепи:

– напряжения на резисторе R: ;

– напряжения на емкости С: .

Угол сдвига фаз между напряжением u и током i:

Начальная фаза тока i определяется из соотношения . Откуда,

Мгновенные значения тока и напряжений на участках цепи:

Задача 1.3

Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены:

U = 10 В; I = 2 А; φ = 30 о .

Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления двухполюсника.

Решение.

Имеем по определению:

Задача 1.4

По цепи по схеме рис. 1.10 действующие значения тока i на частотах

f₁ = 500 Гц и f₂ = 1000 Гц равны, соответственно, I₁ = 1 А и I₂ = 1,8 А.

Определить параметры цепи R и C, если на этих частотах напряжение на входе U = 100 В.

Решение.

По определению на частотах f₁ и f₂ имеем:

Непосредственно по схеме цепи рис. 1.10 находим:

Значения параметров R и С найдем из решения системы уравнений

Программа расчета в пакете MathCAD.

U:=100 f1:=500 f2:=1000 I1:=1 I2:=1.8	←Присвоение переменным заданных условием задачи величин.
	←Расчет полных сопротивлений на частотах f1 и f2.
	←Расчет угловой частоты.
	←Задание приближенных значений параметров R и C цепи.
Giver
	←Решение системы нелинейных уравнений. Для набора «=» нажмите [Ctrl]=.
	←Присвоение вектору RC найденных значений параметров R и C цепи.
	←

Значения параметров цепи: .

Задача 1.5

Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентными активной проводимостью

G = 0,011 Ом -1 и реактивной проводимостью B = 0,016 Ом -1 . Напряжение на входе двухполюсника U = 30 В.

Решение.

Действующее значение тока

Задача 1.6

Действующее значение синусоидального тока ветви с резистором R равно 0, 1 А (рис. 1.11). Найти действующие значения напряжения u, и токов i_L и i, если R = 430 Ом; X_L = 600 Ом. Чему равна активная, реактивная и полная мощности этого двухполюсника?

Решение.

Положительные направления напряжения и токов указаны на рис. 1.11.

Действующее значение тока I_R = 0,1 А.

По закону Ома U = I_RR = 0,1∙430 = 43 В.

Действующее значение тока I можно вычислить, определив полную проводимость Y цепи. По виду схемы имеем

Задача 1.7

Действующее значение синусоидального напряжения на емкости С в цепи со схемой рис. 1.10 U_С = 24 В. Найти действующее значение напряжения u и тока i, если X_C = 12 Ом; R = 16 Ом.

Решение.

Определяем действующее значение тока i

Полное сопротивление цепи

Определяем действующее значение напряжения u

Задача 1.8

Для определения эквивалентных параметров пассивного двухполюсника в цепи синусоидального тока были сделаны измерения действующих значений напряжения, тока и активной мощности (рис. 1.12).

A → 0,5 A, U → 100 B, W → 30 Вт.

Для определения характера реактивного сопротивления (проводимости) параллельно двухполюснику была включена емкость С (В_С ˂ В_эк). При этом показания амперметра уменьшились. Рассчитать эквивалентные сопротивления и проводимости двухполюсника.

Решение.

Действующее значение: I = 0,5 A, U = 100 B. Активная мощность, потребляемая двухполюсником, P = 30 Вт. Полное сопротивление двухполюсника

Эквивалентное активное сопротивление

Эквивалентное реактивное сопротивление

Характер реактивного сопротивления индуктивный (Х_эк = Х_L, φ > 0). После включения параллельно двухполюснику емкости С, ток I’ ˂ I. Этому случаю соответствует векторная диаграмма рис. 1.13 а. Емкостному характеру соответствует векторная диаграмма рис. 1.13 б.

Полная проводимость двухполюсника

Эквивалентная активная проводимость

Эквивалентная реактивная проводимость

Следует обратить внимание, что треугольники сопротивлений и проводимостей для одного и того же двухполюсника подобны (рис. 1.4). Поэтому,

1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Какими параметрами описываются синусоидальные токи в электрических цепях?

2. Как связаны между собой круговая частота ω и период Т синусоидального тока?

3. Что такое действующее значение переменного тока?

4. Запишите формулы для вычисления индуктивного и емкостного сопротивлений.

5. Объясните, как определить напряжение на участке цепи, если заданы и r и x.

6. Нарисуйте треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей с необходимыми обозначениями.

7. Запишите формулы для вычисления активной и реактивной мощностей.

8. Напряжение на индуктивности L = 0,1 Гн в цепи синусоидального тока изменяется по закону . Найти мгновенное значение тока и индуктивности.

9. Ток в емкости С = 0,1 мкФ равен . Найти мгновенное значение напряжения на емкости.

10. На участке цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R = 160 Ом и емкостью С = 26,54 мкФ мгновенное значение синусоидального тока . Найти мгновенные значения напряжений на емкости и на всем участке цепи. Чему равны действующие значения этих величин?

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 82531 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник