Меню

Нормальное напряжение при растяжении сжатии определяется по формуле

Напряжения при растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержень, растянутый по торцам силами.

Определим в некотором произвольном сечении нормальную силу и напряжения. Воспользуемся методом сечений, рассечем стержень на две части и рассмотрим равновесие одной из них. Очевидно, что нормальная сила .

Далее, используя принцип Сен-Венана, приходим к выводу,

что напряженное состояние должно быть точно таким же, как и в случае однородного растяжения, рассмотренном выше. Таким образом, если — площадь поперечного сечения стержня, то при равномерном характере распределения напряжений. — нормальная сила равна

При растяжении (сжатии) нормальные напряжения распределены по сечению равномерно и равняются нормальной силе, деленной на площадь поперечного сечения. (1)

Нормальным силам и напряжениям предписывается знак: при растяжении плюс, при сжатии минус.

Деформированное состояние при растяжении и сжатии.

Т.к. напряженное состояние однородно, то однородным будет и деформированное состояние. Любой элемент объема будет деформироваться одинаково. Поперечные сечения стержня останутся плоскими, и будут удаляться друг от друга при растяжении и сближаться при сжатии. Этот факт можно положить в основу всей теории и сформулировать как гипотезу плоских сечений: сечения плоские и нормальные к оси до деформации остаются плоскими и нормальными к оси после деформации.

Определим удлинения и деформации, возникающие в стержне.

Пусть — длина стержня до деформации, — длина стержня после деформации. Величину называют продольным удлинением. Т.к. деформированное состояние однородно, то деформация не зависит от базы измерения. Деформация в направлении оси стержня равняется: (2) Эта величина называется относительным удлинением стержня.

Продольная деформация ( в направлении оси стержня) сопровождается поперечной: , где

— характерный размер поперечного сечения до деформации;

— то же самое после деформации.

Знаки продольной и поперечной деформаций противоположны. Продольное удлинение сопровождается уменьшением поперечных

размеров и наоборот.

Отношение деформации поперечной к деформации продольной есть для данного материала величина постоянная, называется коэффициентом Пуассона.

Для сталей эта величина колеблется в пределах 0,25 – 0,35.

Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука.

Как уже упоминалось ранее, между напряжениями и деформациями существует связь, которая может быть установлена лишь экспериментальным путем.

Большинство твердых тел, при сравнительно небольших нагрузках, обнаруживают свойство однозначной зависимости между напряжениями и деформациями (или между силами и перемещениями).

Например, если вспомнить известные нам из курса лабораторных работ диаграммы растяжения и сжатия малоуглеродистой стали, то можно заметить, что вплоть до значений напряжения равного — предела пропорциональности зависимость между напряжениями и деформациями близка к линейной.

Подобная картина наблюдается и у других сталей, а также, может быть менее отчетливо, у других материалов. Данный экспериментальный факт позволяет принять простейший из упругих законов – закон Гука, т.е. закон линейной упругости:

Напряжения пропорциональны деформациям

Коэффициент пропорциональности между напряжениями и деформациями называется модулем упругости первого рода (модулем Юнга). Модуль упругости определяется опытным путем и служит мерой жесткости материала. Геометрический смысл — угловой коэффициент прямолинейного начального участка диаграммы материала.

Модуль упругости для некоторых, часто применяемых материалов, имеет приблизительно следующие значения.

Отметим еще раз, что свойство упругости, в частности линей-

Читайте также:  Схема стабилизатора напряжения 12 вольт 7812

ной упругости, относительно. Уместно говорить не о упругих и неупругих материалах, а о упругом и неупругом состоянии материала.

Если в (3) выразить по формуле (2) и учесть (1), то получим закон Гука в форме, позволяющей находить удлинения.

Величину называют жесткостью при растяжении-сжатии. Закон (4) можно сформулировать следующим образом: удлинение стержня прямо пропорционально нормальной силе и длине стержня и обратно пропорционально жесткости при растяжении-сжатии.

По формуле (4) можно определять удлинения только в том

случае, если нормальная сила и поперечное сечение постоянны по

длине стержня, т.е. если напряженное состояние однородно.

Если нормальная сила и поперечное сечение меняются по длине ступенчато, то стержень надо разбить на участки, так чтобы в пределах каждого участка и были постоянны, определить удлинение каждого из участков и тогда полное удлинение стержня будет равняться алгебраической сумме, (знак определяется знаком ) удлинений участков.

Если же напряженное состояние в стержне неоднородно, то выделив малый элемент длиной определим его удлинение

, Здесь и рассматривается как функции z. Полное удлинение стержня будет равно:

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 874 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник



Растяжение-сжатие.

Внутренние усилия при растяжении-сжатии.

Осевое (центральное) растяжение или сжатие прямого бруса вызывается внешними силами, вектор равнодействующей которых совпадает с осью бруса. При растяжении или сжатии в поперечных сечениях бруса возникают только продольные силы N. Продольная сила N в некотором сечении равна алгебраической сумме проекции на ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. По правилу знаков продольной силы N принято считать, что от растягивающих внешних нагрузок возникают положительные продольные силы N, а от сжимающих — продольные силы N отрицательны (рис. 5).

правило знаков для продольных сил

Чтобы выявить участки стержня или его сечения, где продольная сила имеет наибольшее значение, строят эпюру продольных сил, применяя метод сечений, подробно рассмотренный в статье:
Анализ внутренних силовых факторов в статистически определимых системах
Ещё настоятельно рекомендую взглянуть на статью:
Расчёт статистически определимого бруса
Если разберёте теорию в данной статье и задачи по ссылкам, то станете гуру в теме «Растяжение-сжатие» =)

Напряжения при растяжении-сжатии.

Определенная методом сечений продольная сила N, является равнодействующей внутренних усилий распределенных по поперечному сечению стержня (рис. 2, б). Исходя из определения напряжений, согласно выражению (1), можно записать для продольной силы:

напряжения при растяжении-сжатии

где σ — нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения стержня.
Чтобы определить нормальные напряжения в любой точке бруса необходимо знать закон их распределения по поперечному сечению бруса. Экспериментальные исследования показывают: если нанести на поверхность стержня ряд взаимно перпендикулярных линий, то после приложения внешней растягивающей нагрузки поперечные линии не искривляются и остаются параллельными друг другу (рис.6, а). Об этом явлении говорит гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли): сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

механизм деформации растяжения

Так как все продольные волокна стержня деформируются одинаково, то и напряжения в поперечном сечении одинаковы, а эпюра напряжений σ по высоте поперечного сечения стержня выглядит, как показано на рис.6, б. Видно, что напряжения равномерно распределены по поперечному сечению стержня, т.е. во всех точках сечения σ = const. Выражение для определения величины напряжения имеет вид:

Читайте также:  Защита нейтрали трансформатора напряжения

формула напряжения

Таким образом, нормальные напряжения, возникающие в поперечных сечениях растянутого или сжатого бруса, равны отношению продольной силы к площади его поперечного сечения. Нормальные напряжения принято считать положительными при растяжении и отрицательными при сжатии.

Деформации при растяжении-сжатии.

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении (сжатии) стержня (рис.6, а). Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δl называемую абсолютным удлинением, или абсолютной продольной деформацией, которая численно равна разности длины бруса после деформации l1 и его длины до деформации l

абсолютное удлинение

Отношение абсолютной продольной деформации бруса Δl к его первоначальной длине l называют относительным удлинением, или относительной продольной деформацией:

относительное удлинение

При растяжении продольная деформация положительна, а при сжатии – отрицательна. Для большинства конструкционных материалов на стадии упругой деформации выполняется закон Гука (4), устанавливающий линейную зависимость между напряжениями и деформациями:

закон гука

где модуль продольной упругости Е, называемый еще модулем упругости первого рода является коэффициентом пропорциональности, между напряжениями и деформациями. Он характеризует жесткость материала при растяжении или сжатии (табл. 1).

Модуль продольной упругости для различных материалов

модуль продольной упругости для различных материалов

Абсолютная поперечная деформация бруса равна разности размеров поперечного сечения после и до деформации:

абсолютная поперечная деформация бруса

Соответственно, относительную поперечную деформацию определяют по формуле:

относительная поперечная деформация

При растяжении размеры поперечного сечения бруса уменьшаются, и ε ‘ имеет отрицательное значение. Опытом установлено, что в пределах действия закона Гука при растяжении бруса поперечная деформация прямо пропорциональна продольной. Отношение поперечной деформации ε ‘ к продольной деформации ε называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона μ:

коэффициент пуассона

Экспериментально установлено, что на упругой стадии нагружения любого материала значение μ = const и для различных материалов значения коэффициента Пуассона находятся в пределах от 0 до 0,5 (табл. 2).

коэффициент пуассона для материалов

Абсолютное удлинение стержня Δl прямо пропорционально продольной силе N:

абсолютное удлинение стержня

Данной формулой можно пользоваться для вычисления абсолютного удлинения участка стержня длиной l при условии, что в пределах этого участка значение продольной силы постоянно . В случае, когда продольная сила N изменяется в пределах участка стержня, Δl определяют интегрированием в пределах этого участка:

Произведение (Е·А) называют жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

Механические свойства материалов.

Основными механическими свойствами материалов при их деформации являются прочность , пластичность , хрупкость , упругость и твердость .

Прочность — способность материала сопротивляться воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

Пластичность – свойство материала выдерживать без разрушения большие остаточные деформации. Неисчезающие после снятия внешних нагрузок деформации называются пластическими.

Хрупкость – свойство материала разрушаться при очень малых остаточных деформациях (например, чугун, бетон, стекло).

Идеальная упругость – свойство материала (тела) полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения причин, вызвавших деформацию.

Твердость – свойство материала сопротивляться проникновению в него других тел.

Рассмотрим диаграмму растяжения стержня из малоуглеродистой стали. Пусть круглый стержень длинной l и начальным постоянным поперечным сечением площади A статически растягивается с обоих торцов силой F.

растягивание стержня до разрушения

Диаграмма сжатия стержня имеет вид (рис. 10, а)

Читайте также:  При каком напряжении сгорит телевизор

диаграмма растяжения стали

где Δl = l — l абсолютное удлинение стержня; ε = Δl / l — относительное продольное удлинение стержня; σ = F / A — нормальное напряжение; E — модуль Юнга; σп — предел пропорциональности; σуп — предел упругости; σт — предел текучести; σв — предел прочности (временное сопротивление); εост — остаточная деформация после снятия внешних нагрузок. Для материалов, не имеющих ярко выраженную площадку текучести, вводят условный предел текучести σ0,2 — напряжение, при котором достигается 0,2% остаточной деформации. При достижении предела прочности в центре стержня возникает локальное утончение его диаметра («шейка»). Дальнейшее абсолютное удлинение стержня идет в зоне шейки ( зона местной текучести). При достижении напряжением предела текучести σт глянцевая поверхность стержня становится немного матовой – на его поверхности появляются микротрещины (линии Людерса-Чернова), направленные под углом 45° к оси стержня.

примеры разрушения материалов

Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии.

Опасным сечением при растяжении и сжатии называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение. Допускаемые напряжения вычисляются по формуле:

формула допускаемые напряжения

где σпред — предельное напряжение (σпред = σт — для пластических материалов и σпред = σв — для хрупких материалов); [n] — коэффициент запаса прочности. Для пластических материалов [n] = [nт] = 1,2 … 2,5; для хрупких материалов [n] = [nв] = 2 … 5, а для древесины [n] = 8 ÷ 12.

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Целью расчета любой конструкции является использование полученных результатов для оценки пригодности этой конструкции к эксплуатации при минимальном расходе материала, что находит отражение в методах расчета на прочность и жесткость.

Условие прочности стержня при его растяжении (сжатии):

Условие прочности стержня

При проектном расчете определяется площадь опасного сечения стержня:

площадь при проектном расчёте

При определении допускаемой нагрузки рассчитывается допускаемая нормальная сила:

допускаемая нормальная сила

Расчет на жесткость при растяжении и сжатии.

Работоспособность стержня определяется его предельной деформацией [ l ]. Абсолютное удлинение стержня должно удовлетворять условию:

ограничение абсолютного удлинения стержня

Часто дополнительно делают расчет на жесткость отдельных участков стержня.

Следующая важная статья теории:
Изгиб балки

Источник

Как определить нормальное напряжение?

Автор: Константин Вавилов · Опубликовано 02.02.2016 · Обновлено 28.11.2017

Сегодня будем говорить о том, как определить нормальное напряжение при растяжении (сжатии). Долго говорить не придется, так как определяется оно элементарно.

Формула для нахождения нормального напряжения следующая:

формула для определения нормального напряжения

То есть это отношение продольной силы (N) к площади поперечного сечения (A), на которой действует эта сила.

Пример определение нормальных напряжений

Посмотрим, как на практике пользоваться этой формулой. Например, возьмем брус с постоянным поперечным сечением, на который действует кучка внешних сил. Вас просят найти максимальное нормальное напряжение, возникающее в поперечных сечениях бруса.

брус постоянного поперечного сеечния

Ваша тактика будет такой: Сначала нужно определить продольные силы и по-хорошему построить эпюру, чтобы видеть наиболее опасное сечение, то есть сечение, в котором внутренняя сила максимальная.

построение эпюры продольных сил

В нашем случае продольную силу берем равной трем килоньютонам и делим на площадь поперечного сечения:

нахождение нормального напряжения

Итого получили максимальное напряжение равное 15 мегапаскалям, что для стального бруса совсем пустяк.

Источник

Adblock
detector