Меню

Формула закона парности касательных напряжений

Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим равновесие малого выделенного элемента из твердого деформируемого тела, показанного на рис.4.1. Запишем уравнения равновесия для пространственной системы сил в виде:

Σ М z=0: ,

Σ М х=0: ,

Σ М у=0:

(4.2)

Таким образом, касательные напряжения τ на паре взаимно перпендикулярных площадок равны по величине и направлены к общему ребру или от него. В этом состоит суть закона взаимности или парности касательных напряжений, выражающийся формулами (4.2).

Напряжения на наклонных площадках при объёмном и при плоском напряженных состояниях

Отсечем от элементарного объёма некоторую его часть произвольной наклонной плоскостью. Положение этой плоскости зададим вектором единичной нормали ν (рис.4.4), с направляющими косинусами:

l=cos( x,ˆν)= , m= cos( y,ˆν)= , n= cos( z,ˆν)=

Рассмотрим равновесие полученной элементарной пирамиды. Запишем уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на координатные оси. Так Σ x=0, Σ y=0, Σ z=0 дают следующую систему уравнений:

С учетом значений направляющих косинусов l, m, n получим значения составляющих полного напряжения р ν на наклоной площадке с нормалью ν:

(4.3)

Если наклонная площадка принадлежит поверхности тела, то формулы (4.3) по существу связывают поверхностные нагрузки с компонентами тензора напряжений.

Полное напряжение на наклоной площадке, таким образом, можно определить через его составляющие:

(4.4)

Проектируя составляющие полного напряжения р ν (4.3) на нормаль ν, получим с учетом значений направляющих косинусов и закона парности касательных напряжений (4.2) формулу для определения нормальных напряжений на произвольной наклонной площадке при объемном напряженном состоянии:

(4.5)

Теперь можно определить и касательные напряжения на наклонной площадке:

Рассмотрим частный случай плоского напряженного состояния, когда , изображенный на рис.4.5. В этом случае формулы (4.3) примут более простой вид:

, (4.6)

Направляющие косинусы:

Нормальные напряжения на наклонной площадке с нормалью ν будут равны:

(*)

C учетом зависимостей (4.6) формулы (*) можно представить в окончательном виде:

(4.7)

(4.8)

На заштрихованной площадке, для которой β=90+α, значения нормальных и касательных напряжений будут определяться по формулам:

(4.10)

Cкладывая формулы (4.7) и (4.9) получаем:

(4.11)

Формула (4.11) выражает мысль о том, что сумма нормальных напряжений на паре взаимно перпендикулярных площадок есть величина постоянная, а формулы (4.8) и (4.10) ещё раз подтверждают закон парности касательных напряжений.

Главные площадки и главные напряжения при объёмном и плоском напряженном состоянии

При повороте элементарного объёма относительно точки М компоненты тензора напряжений (4.1), как показывают формулы (4.5 – 4.8) , изменяются, т.е., их значения зависят от ориентации элементарного объёма в пространстве. Можно указать такую его ориентацию, при которой на наклонной площадке с внешней нормалью ν касательные напряжения τ y’z’ окажутся равными нулю.

Читайте также:  Что понижает резистор силу тока или напряжение

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями.

Пусть на исходных площадках действуют компоненты тензора напряжений (рис. 4.4). Найдем при этом положение главных площадок и значения главных напряжений на них.

Предположим, что наклонная площадка с нормалью ν является главной с одним нормальным напряжением σ ν=σ ( i), ( i=1 ,2,3).

Рассматривая в равновесии выделенную пирамиду, т.е., проектируя все силы на оси координат х, у, z получим

Разделив последние три равенства на площадь наклонной площадки dF, получим три однородных линейных алгебраических уравнения относительно направляющих косинусов l, m, n:

,

, (4.12)

.

Система уравнений не должна иметь нулевое решение в силу того, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице, т. е.:

(4.13)

Тогда определитель системы уравнений (4.12)

(4.14)

Раскрывая определитель системы уравнений (4.14), получим кубическое уравнение относительно нормального напряжения на главной площадке:

Коэффициенты при напряжении σ в уравнении (4.15):

называются первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния, т.е., величинами, не зависящими от преобразования координат относительно вращения элементарного объёма.

Кубическое уравнение (4.15) имеет три действительных корня, значения, которых расположим в такой последовательности: σ 1≥ σ 2 ≥ σ 2. Напряжения σ 1, σ 2 , σ 3 будут главными, значения их не зависят от операции вращения. Поэтому они будут являться инвариантами а, следовательно, формулы (4.16) можно выразить через главные напряжения:

Рассмотрим частный случай, когда σ x=τ xy =τ zx=0 (рис. 4.5). В таком случае инварианты тензора напряжений (4.16) будут равны:

(**)

Кубическое уравнение (4.15) с учетом (**) преобразуется в квадратное уравнение:

Найдем корни квадратного уравнения (4.19):

(4.20)

После подстановки значений первого и второго инвариантов (4.18) в формулу (4.20) и выполнения элементарных преобразований получим:

(4.21)

Формула (4.20) применяется при определении главных напряжений при плоском напряженном состоянии. В случае если нормальные напряжения σ y=0, значения главных напряжений

(4.22)

Теперь определим положение главных площадок.

Рассмотрим равновесие выделенного элемента (рис.4.7), с действующими на него главными напряжениями σ 1,2 и напряжениями на исходных площадках.

Спроектируем все силы на ось у получим:

Разделив на dFsinα 1,2 последнее равенство, получим:

Читайте также:  Стабилизаторы напряжения 12 киловатт все

, (4.23)

или в частности, когда σ y=0:

(4.24)

Формулы (4.24) и (4.25) используются для определения положения главных площадок при плоском напряженном состоянии.

Положительный угол α 1,2 откладывается от положительного направления оси z против хода часовой стрелки. При этом должно выполняться условие ортогональности главных площадок: сумма модулей углов α 1, α 2 должно равняться 90 о б т. е.:

Это указывает на то, что главные площадки, как и исходные площадки взаимно перпендикулярны между собой.

Источник



Техническая механика

Сопротивление материалов

Свойства касательных напряжений. Главные сечения

Закон парности касательных напряжений

Закон парности касательных напряжений формулируется так: касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках, перпендикулярные их общему ребру, равны по модулю.

Внутри тела вблизи некоторой точки вырежем элементарный параллелепипед с размерами dx, dy, dz.

Пусть на верхней грани этого параллелепипеда действует касательное напряжение τ. Сила, действующая в этой грани равна dQ = τ dx dy (здесь произведение dx dy — площадь грани).

Так как параллелепипед находится внутри тела в равновесии, то сумма ΣX = 0, следовательно, на нижней грани параллелепипеда будет действовать такая же сила dQ, но направленная в противоположную сторону.

Пара сил (dQ, dQ) будет стремиться вращать параллелепипед против часовой стрелки. Но, поскольку параллелепипед находится в равновесии, значит ΣМ = 0, следовательно пара сил (dQ, dQ) будет уравновешиваться какой-то другой парой сил с моментом, равным моменту первой пары.

Естественно считать, что вторая пара образуется касательными напряжениями τ 1, действующими на боковых (правой и левой) гранях параллелепипеда, причем dQ 1 = τ 1 dy dz.

Следовательно, М (dQ, dQ) = М (dQ 1, dQ 1), или τ dx dy dz = τ 1 dx dy dz, откуда τ = τ 1.

Следует отметить, что парные касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных площадках сечения направлены либо к линии пересечения плоскостей сечений, либо от этой линии.

Напряжения в наклонных сечениях при растяжении. Главные напряжения

Через всякую точку деформированного тела можно провести бесчисленное множество различно ориентированных секущих плоскостей. Рассмотрим прямой брус постоянного поперечного сечения А, растягиваемый силами F (рис. 2а).
Рассечем брус плоскостью 1-1, проходящей через точку В и составляющий с поперечным сечением некоторый угол φ, отбросим верхнюю часть бруса и рассмотрим равновесие нижней.

Очевидно, что равнодействующая N внутренних сил, действующих в наклонном сечении, будет равна растягивающей силе F:

а напряжения р φ будут параллельны оси бруса (рис. 2б). Полагая, что напряжения р φ распределены по наклонному сечению равномерно, получим:

Читайте также:  Как проверить работоспособность блока питания компьютера напряжение

где А φ — площадь наклонного сечения.

Нормальные напряжения σ в поперечном сечении будут равны: σ = N / А.

Так как А φ = А / cosφ , то р φ = N /А φ = N / (А / cosφ) = σ cosφ.

Разложим полное напряжение р φ в какой-либо точке наклонного сечения на нормальное σ φ и касательное τ φ напряжения (рис. 2в).

σ φ = р φ cosφ = σ cos2φ;

τ φ = р φ sinφ = σ sinφ cosφ = (σ / 2) sin2φ.

Отсюда следует вывод: при растяжении бруса в наклонных сечениях возникают равномерно распределенные по сечению нормальные и касательные напряжения и соответствующие этим напряжениям деформации растяжения и сдвига.

Если рассмотреть частные случаи для наклонных сечений, можно установить, что нормальные напряжения достигают максимального значения в сечениях, перпендикулярных оси бруса, т. е. при φ = 0, (касательные напряжения при этом отсутствуют).
Касательные напряжения достигают максимального значения в сечении, наклоненном под углом φ = 45 град к оси бруса. При этом τ max = σ max = σ / 2.

В сечении, параллельном оси бруса ( φ = 90 град) напряжения не возникают, что косвенно подтверждает гипотезу о не надавливании волокон.
Площадки, в которых касательные напряжения равны нулю называют главными площадками, в возникающие в них нормальные напряжения — главными напряжениями.
В общем случае в напряженной зоне элемента конструкции могут существовать три взаимно-перпендикулярные главные площадки, и в зависимости от числа таких площадок различают три основных вида напряженного состояния: линейное, плоское и объемное.

В случае плоского напряженного состояния, когда в окрестностях любой точки сечения присутствуют только касательные напряжения, имеет место деформация чистого сдвига.

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Источник

Закон парности касательных напряжений

date image2014-02-03
views image2780

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

В окрестностях произвольной точки напряженного тела выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллепипеда со сторонами dx, dy, dz. На каждой из граней действует по три составляющих напряжения: нормальное напряжение и два касательных (рис.20).

Составим уравнение равновесия выделенного элемента в форме суммы моментов всех сил относительно оси X:

приведя подобные слагаемые и упростив выражение, получим:

Составляя уравнения равновесия относительно осей Y и Z, получим аналогичные выражения:

Полученные выражения (29), (30) определяют закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от него.

Источник

Adblock
detector