Формула ясинского для определения критических напряжений

Расчет критического напряжения по формуле Ф. О. Ясинского для стальных стержней

date image2015-05-14
views image2877

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Критическое напряжение определяется по формуле σкр = α — , где а и b — коэффициенты, зависящие от материала; их значения представлены в таблице.

На рис. 36.4 представлена зависимость критического напряже­ния от гибкости стержня.

Для стержней малой гибко­сти проводится расчет на сжатие

.

Для стержней средней гибкости расчет проводят по форму­ле Ясинского σкр = α..

Для стержней большой гибкости расчет проводят по формуле Эйлера

Критическую силу при расчете критического напряжения по формуле Ясинского можно определить как

Контрольные вопросы и задания

1. Какое равновесие называется устойчивым?

2. Какие брусья следует рассчитывать на устойчивость?

3. Какую силу при расчете на устойчивость называют критиче­ской?

4. Напишите формулу Эйлера для расчета критической силы и назовите входящие величины и их единицы измерения.

5. Что называют гибкостью стержня, какой смысл заложен в этом названии? Назовите категории стержней в зависимости от гиб­кости.

6. От каких параметров стержня зависит предельная гибкость?

7. При каких условиях можно использовать формулу Эйлера для расчета критической силы?

8. В чем заключается расчет сжатого стержня на устойчивость? Напишите условие устойчивости. Чем отличается допускаемая сжи­мающая сила от критической?

Источник

Формулы Эйлера и Ясинского

Иркутский государственный университет путей сообщения

Лабораторная работа № 16

по дисциплине«Сопротивление материалов»

ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ

ПРИ ПРОДОЛЬНОМ ИЗГИБЕ

Кафедра ПМ

Лабораторная работа № 16

Опытное определение критических сил при продольном изгибе

Цель работы:исследование явления потери устойчивости сжатого стального стержня в упругой

стадии. Экспериментальное определение значений критических нагрузок сжатых

стержней при различных способах закрепления и сравнение их с теоретическими

Общие положения

Сжатые стержни недостаточно проверять на прочность по известному условию:

где [σ] – допускаемое напряжение для материала стержня, P – сжимающая сила, F – площадь поперечного сечения.

В практической деятельности инженеры имеют дело с подвергающимися сжатию гибкими стержнями, тонкими сжатыми пластинами, тонкостенными конструкциями, выход из строя которых вызывается ен потерей несущей способности, а потерей устойчивости.

Под потерей устойчивости понимается потеря первоначальной формы равновесия.

В сопротивлении материалов рассматривается устойчивость элементов конструкций, работа­ющих на сжатие.

Рассмотрим длинный тонкий стержень (рис. 1), нагруженный осевой сжимающей силой P.

P Pкр

Рис. 1. Стержень, нагруженный осевой сжимающей силой P.

При малых значениях силы F стер­жень сжимается, оставаясь прямолинейным. Причем, если стержень отклонить от этого положения небольшой поперечной нагрузкой, то он изогнется, но при снятии ее стержень возвращается в прямолинейное состояние. Это значит, что при данной силе Pпрямолинейная форма равновесия стержня устойчива.

Если продолжить увеличивать сжимающую силу P, то при неко­тором ее значении прямолинейная форма равновесия становит­ся неустойчивой и возникает новая форма равновесия стержня — криволинейная (рис. 1, б). Вследствие изгиба стержня в его сече­ниях появится изгибающий момент, который вызовет дополнитель­ные напряжения, и стержень может внезапно разрушиться.

Искривление длинного стержня, сжимаемого продольной силой, называется продольным изгибом.

Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямоли­нейная форма равновесия стержня устойчива, называется критичес­ким Pкр.

При достижении критической нагрузки происходит резкое каче­ственное изменение первоначальной формы равновесия, что ведет к выходу конструкции из строя. Поэтому критическая сила рассмат­ривается как разрушающая нагрузка.

Формулы Эйлера и Ясинского

Задачу определения критической силы сжатого стержня впер­вые решил член Петербургской академии наук Л. Эйлер в 1744 г. Формула Эйлера имеет вид

где Е модуль упругости материала стержня; Jmin — наименьший момент инерции поперечного сечения стержня (поскольку искривление стержня при потере устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, т. е. поперечные сечения стержня повора­чиваются вокруг оси, относительно которой момент инерции ми­нимален, т.е. либо вокруг оси x, либо вокруг оси y);

(μ·l) – приведенная длина стержня, это произведение длины стержня l на коэффициент μ, зависящий от способов закреп­ления концов стержня.

Коэффициент μ называют коэффициентом приведения длины;его значение для наиболее часто встречающихся случаев закрепления концов стержня приведены на рис. 2:

а— оба конца стержня закреплены шарнирно и могут сближаться;

б— один конец жестко защемлен, другой свободен;

в— один конец закреплен шарнирно, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

г один конец жестко защемлен, второй имеет «поперечно-плавающую заделку»;

д— один конец заделан жестко, на другом шарнирно-подвижная опора;

е— оба конца жестко защемлены, но могут сближаться.

Из этих примеров видно, что коэффициент μпредставляет со­бой величину, обратную числу полуволн упругой линии стержня при потере устойчивости.

Рис. 2. Коэффициент μ для наиболее часто

встречающихся случаев закрепления концов стержня.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, также называется критическим.

Определим его исходя из формулы Эйлера:

Геометрическую характеристику сечения imin, определяемую по формуле

называют радиусом инерции сечения(относительно оси с Jmin). Для прямоугольного сечения

С учетом (3) формула (2) примет вид:

Отношение приведенной длины стержня к минимальному ра­диусу инерции его поперечного сечения по предложению профес­сора Санкт-Петербургского института инженеров путей сообще­ния Ф.С. Ясинского (1856—1899) называют гибкостью стержняи обозначают буквой λ:

В этой безразмерной величине одновременно отражаются такие параметры: длина стержня, способ его закрепления и характеристи­ка поперечного сечения.

Окончательно, подставив (5) в формулу (4), получим

При выводе формулы Эйлера предполагалось, что материал стер­жня упруг и следует закону Гука. Следовательно, формулу Эйлера можно применять только при напряжениях, меньших предела про­порциональности σпц, т. е. когда

Этим условием определяется предел применимости формулы Эйлера:

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, называют предельной гибкостью:

ее значение зависит от физико-механических свойств материала стержня.

Для низкоуглеродистой стали Ст. 3, у которой σпц= 200 МПа, Е = 2·10 5 МПа:

Аналогично можно вычислить значение предельной гибкости для других материалов: для чугуна λпред = 80, для сосны λпред = 110.

Таким образом, формула Эйлера применима для стержней, гиб­кость которых больше или равна предельной гибкости, т. е.

λ λпред

Понимать это надо так: если гибкость стержня больше предельной гибкости, то критическую силу надо определять по формуле Эйлера.

Источник

Научная электронная библиотека

Лекция 13. ФОРМУЛА ЯСИНСКОГО

Границы применимости решения Эйлера. Формула Ясинского.

Как показали опыты, решение Эйлера подтверждается не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

5094.png(30)

Из (30) следует, что напряжение 5101.pngвозрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, следовательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчивость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

Формула Эйлера неприемлема, если напряжения

5108.png,

где 5116.png– предел пропорциональности. Приравнивая (30) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

5125.png

Если λ > λпред , то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться нельзя. Для стали Ст. 3 – lпред = 100.

В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной. В связи с этим, в таких случаях пользуются эмпирическими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

где a, b – постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст. 3 a = 3,1•10 5 кН/м2, b = 11,4•10 2 кН/м2.

При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0

Источник

Поделиться с друзьями
Электрика и электроника
Adblock
detector