Формула герца для контактных напряжений двух цилиндров

Расчет цилиндрических прямозубых колес на прочность по контактным напряжениям

Целью этого расчета является предотвращение разрушения рабочих поверхностей зубьев вследствие возникновения повторных контактных напряжений сдвига.

В основу расчета зубьев на прочность по контактным напряжениям положена теория статически сжатых цилиндров, разработанная Герцем и развитая Беляевым. Сущность теории Герца-Беляева состоит в следующем. Под действием силы нормального давления FHn на контактных поверхностях двух цилиндров возникают контактные напряжения σH (рис. 4.8).

Величину этих контактных напряжений определяют по формуле

где — равномерно распределенная нагрузка, действующая на зубья;

— приведенный модуль упругости;

— приведенный радиус кривизны;

μ — коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Применим теорию Герца-Беляева для получения основных зависимостей при расчете зубьев прямозубых цилиндрических колес на прочность по контактным напряжениям. Наибольшие контактные напряжения возникают в тот момент, когда точка контакта находится в полюсе зацепления.

Условие прочности зубьев по контактным напряжениям можно в общем виде записать неравенством σH σHP, где σH – расчетное контактное напряжение; σHP — допускаемое контактное напряжение.

Изобразим зубья шестерни и колеса в тот момент, когда они касаются в полюсе зацепления. Заменим зубья шестерни и колеса цилиндрами с радиусами, равными радиусам кривизны эвольвентных профилей зубьев в точке их касания (рис.4.9).

Согласно свойствам эвольвенты центры заменяющих цилиндров находятся на общей нормали к сопряженным профилям NN в точках А и В, крайних точках линии зацепления АВ.

Радиус кривизны эвольвентного профиля зуба первого колеса:

(4.117)

Радиус кривизны бокового профиля второго зуба:

(4.21)

В формулах (4.20) и (4.21) d1 и d2 – делительные диаметры зубчатых колес; u – передаточное число зубчатой передачи.

Приведенный радиус кривизны:

Приведенный модуль упругости с учетом того, что сопряженные колеса изготовлены из стали, т.е. Е12.

Выразим равномерно распределенную нагрузку qHn, действующую на зубья через крутящий момент на ведущем звене (шестерне):

где FHt – окружное усилие; Т1 – крутящий момент на шестерне; bw – ширина зубчатого венца (длина зуба).

Подставим значения qHn, Eio и ρio в формулу Герца-Беляева (4.19):

Введем следующие обозначения:

Zм – коэффициент, учитывающий механические свойства материалов шестерни и колеса:

Учитывая значения для стальных колес модуля упругости Е=2,1×10 5 МПа и коэффициента Пуассона μ=0,3, получаем ZM= 275МПа 1/2 ;

ZН – коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев:

Поскольку для некорригированных колес, а также колес с высотной коррекцией, в основном используемых в зубчатых передачах, угол зацепления αw=20°, коэффициент Zн=1,77.

В связи с тем что в процессе работы передачи в зацеплении может находиться не одна пара зубьев, происходит изменение длины контактных линий, учитываемое коэффициентом Zε:

где εα – коэффициент перекрытия.

С учетом введенных коэффициентов формула (4.22) примет вид:

Выразим диаметр начальной окружности шестерни dw1 через межосевое расстояние αw:

Введем в формулу (4.23) коэффициент нагрузки КН, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев.

где КНα – коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями. Для прямозубой передачи КНα=1,0;

КНβ – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по ширине зубчатого колеса. Коэффициент K зависит от поверхностной твердости зубьев, ширины зубчатого венца и схемы передачи;

КНv – коэффициент динамической нагрузки, зависит от степени точности зубчатых колес, которая назначается в зависимости от окружной скорости.

После подстановки в формулу (4.23) зависимости (4.24), коэффициента КН и приближенных значений коэффициентов Zi=275, ZH =1,77, Zε=1 и преобразований получим следующие выражения расчетов прямозубых зубчатых передач, изготовленных из сталей:

Формула (4.25) применяется для проверочных расчетов. Формула (4.26) – для проектных расчетов. В выражениях (4.25), (4.26) приняты следующие обозначения и размерности величин: Т1 – крутящий момент на шестерне, Н·м; аw межосевое расстояние, мм; σНР, σН контактные напряжения, МПа; bw2 –ширина колеса, мм; ψba =bw/aw– коэффициент ширины колеса, безразмерная величина. Во всех формулах в сочетании u±1 знак «+» соответствует внешнему зацеплению колес, а знак «-» — внутреннему.

Дата добавления: 2016-03-05 ; просмотров: 3204 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Контактные напряжения в зубчатых передачах

date image2014-02-09
views image3832

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Контакт зубьев рассматривается как контакт двух цилиндров с радиусами ρ1 и ρ2. При этом контактные напряжения определяются по формуле Герца, которую ранее применяли для расчета фрикционной передачи.

1. Хотя поверхность зуба не является поверхностью кругового цилиндра, но, как и там, здесь контактные напряжения распространяются на очень малый объем и практически зависят только от радиуса кривизны в точке контакта.

2. Формула Герца получена в предположении, что сила, сжимающая цилиндры, направлена по нормали к площадке контакта. В зубчатом зацеплении это соблюдается не полностью, т.к. присутствуют силы трения. Обстоятельство учитывается при выборе коэффициентов запаса.

3.

Формула Герца получена в предположении, что сила, сжимающая цилиндры, направлена по нормали к площадке контакта. В зубчатом зацеплении это соблюдается не полностью, т.к. присутствуют силы трения. Обстоятельство учитывается при выборе коэффициентов запаса.

Чтобы воспользоваться формулой Герца в виде

необходимо определить радиусы кривизны ρ1 и ρ2 эвольвент зубьев в точке контакта. Согласно рисунку (см. выше), они равны:

Отсюда приведенный радиус кривизны:

( +) для наружного зацепления;

( ­_ ) для внутреннего зацепления.

Подставляя в формулу Герца значения ρпр, значения удельной нагрузки q, c учетом формул для сил в зацеплении и, заменяя ,

получаем условие прочности по контактным напряжениям:

Параметр u=z2/z1 – отношение большего числа зубьев к меньшему числу. Отличается от передаточного отношения i, которое равно отношению угловых скоростей ведущего колеса к ведомому;

Т1 – вращающий момент не шестерне;

dw1 – диаметр начальной окружности шестерни;

bw – рабочая ширина зубчатого венца;

КН — коэффициент расчетной нагрузки передачи.

Значения расчетных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчет выполняют для того из пары колес, у которого меньше допускаемое напряжение . Формула условия прочности используется для поверочного расчета, когда известны все необходимые размеры и другие параметры передачи.

Источник

Техническая механика

Сопротивление материалов

Смятие. Контактные напряжения

Расчеты на прочность при смятии

Если детали конструкции, передающие значительную сжимающую нагрузку, имеют небольшую площадь контакта, то может произойти смятие поверхностей деталей.
Смятие стараются предотвратить различными способами, например, подкладывая различные шайбы и подкладки под контактирующие детали.

Для простоты расчетов напряжений, возникающих при смятии, полагают, что по плоскости контакта возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по площади контакта. Расчетное уравнение на смятие имеет вид:

где: F – сжимающая сила, А см – площадь контакта, [σ см] – допускаемое напряжение на смятие.

Если соприкасающиеся детали сделаны из разных материалов, то на смятие проверяют деталь из более мягкого материала.

При контакте двух деталей цилиндрической поверхности (например, заклепочное соединение) закон распределения напряжений смятия по поверхности контакта сложнее, чем по плоскости, поэтому при расчете на смятие цилиндрических отверстий в расчетную формулу подставляют не площадь боковой поверхности полуцилиндра, по которой происходит контакт, а значительно меньшую площадь диаметрального сечения отверстия (условная площадь смятия, (см. рис. 2), тогда:

где d — диаметр цилиндра, δ — толщина соединяемой детали (высота цилиндра).

При различной толщине соединяемых деталей, в расчетную формулу подставляют меньшую толщину.

Допустимые напряжения на смятие для разных материалов определяются опытным путем, их значение можно найти в справочниках.
Так, для низкоуглеродистой стали допускаемое напряжение смятия принимается в пределах 100….120 МПа, для клепаных соединений: 240….320 МПа, для древесины: 2,4….11 МПа и т. д.

Контактные напряжения

Контактными называют напряжения и деформации, возникающие при сжатии тел криволинейной формы, причем первоначальный контакт может быть линейным (например, сжатие двух цилиндров с параллельными образующими), или точечным (например, сжатие двух шаров).

В результате деформации контактирующих тел начальный точечный или линейный контакт переходит в контакт по некоторой малой площадке. Решение вопросов о контактных напряжениях и деформациях впервые дано в работах немецкого физика Г. Герца (1857-1894 г. г.).

Для деталей, в поверхностных слоях которых возникают контактные напряжения (например, подшипники качения, фрикционные катки, зубчатые колеса и т. п. ), решающую роль играет прочность рабочих поверхностей – контактная прочность.

Рассмотрим случай контакта двух цилиндров с параллельными образующими (рис 3).
Определение контактных напряжений в этом случае производится по формуле Герца, выведенной в предположении, что материалы цилиндров подчиняются закону Гука.
Очевидно, что контактные напряжения по ширине площадки контакта неравномерны.

Максимальные напряжения σ н определяются по формуле:

σ н = √ / [2π(1 — ν 2 )ρ пр]>, (здесь и далее √ — знак корня)

где:
q – нагрузка на единицу длины линии контакта;
Е пр – приведенный модуль упругости, получаемый из соотношения 2/Е пр = 1/Е 1 + 1/Е 2; (здесь 1/Е — некоторая характеристика податливости материала), откуда: Е пр = 2 Е 1Е 2 / Е 1 + Е 2;
ν — коэффициент Пуассона;
ρ пр – приведенный радиус кривизны цилиндров, определяемый из соотношения 1/ρ пр = 1/R 1 + 1/R 2, (здесь 1/ρ пр — кривизна поверхности), откуда:

При ν = 0,3 формула Герца приобретает вид:

Формула Герца широко применяется при расчетах на контактную прочность многих деталей машин и механизмов — зубчатых колес, подшипников качения и т. п.

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

Источник

Поделиться с друзьями
Электрика и электроника
Adblock
detector